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引导学生用一元二次方程解决实际问题，核心在于打破 “数学公式” 与 “现实场景” 的壁垒。通过情境化、动手式、合作型的课堂活动，能让学生从 “被动解题” 转变为 “主动建模”，真正理解方程的工具价值。以下是具体的活动设计思路与案例，按 “感知建模→深化应用→拓展迁移” 的逻辑分层展开：

一、 基础层：情境感知类活动 —— 建立 “问题→方程” 的思维联结

核心目标：让学生认识到 “现实问题中藏着一元二次方程”，学会从实际情境中提取等量关系。

活动 1：“生活问题清单” 头脑风暴

准备阶段：教师提前收集 3-5 个学生熟悉的生活场景（如校园、家庭、购物），例：

校园里的矩形花坛：长比宽多 2 米，面积是 15 平方米，求长和宽。

手机套餐：流量包原价 20 元，降价 x 元后，销量增加 2x 份，总收入变成 600 元，求降价多少。

折纸问题：一张边长 10cm 的正方形纸，四角剪去边长 x cm 的小正方形，折成无盖长方体，容积是 64cm³，求 x。

活动过程：

分组：4 人一组，每组分配 1 个场景，或让组内自主选择。

任务：① 用自己的话描述 “问题里有哪些量？”② 找出 “哪个量是固定的（如面积、容积、总收入）？”③ 尝试用含 x 的式子表示相关量，列出等式。

分享：每组派代表展示 “找等量关系” 的过程，教师重点点评 “如何将文字描述转化为数学式子”，明确 “等式就是一元二次方程的雏形”。

活动 2：“错题诊断” 角色扮演

准备阶段：教师设计 2-3 个 “建模错误” 的典型案例（源于学生常犯问题），例：

问题：某商品原价 50 元，连续两次降价 x% 后售价 32 元，求 x。

错误列式：50 (1 - x)² = 32（漏写 “%”，单位混淆）。

问题：直角三角形两直角边差 3cm，面积 20cm²，求较短直角边。

错误列式：x (x + 3) = 20（漏乘 “1/2”，忽略面积公式）。

活动过程：

角色分配：每组 2 人扮演 “解题者”（展示错误过程），1 人扮演 “诊断师”（找出错误原因），1 人扮演 “纠正师”（写出正确列式）。

展示：各组依次表演，其他同学补充 “诊断意见”，教师总结建模关键步骤：① 设未知数（明确单位）；② 用未知数表示相关量；③ 依据 “核心公式 / 固定关系” 列方程。

二、 进阶层：动手实践类活动 —— 深化 “建模→求解→检验” 的完整逻辑

核心目标：让学生体验 “用方程解决实际问题” 的全流程，理解 “解的合理性”（实际问题中需排除负根、不合题意的根）。

活动 3：“测量与建模” 校园实践任务

场景选择：利用校园内的矩形区域（如宣传栏、草坪、篮球场的局部），设计 “优化问题”：

任务：学校计划用 18 米长的围栏围一个矩形小花坛，靠墙一侧不围栏，怎样围能让花坛面积最大？最大面积是多少？

活动流程：

第一步（动手测量）：分组到现场观察，确认 “靠墙一侧的长度限制”（如墙长 10 米，避免解出的边长超过墙长），记录关键数据。

第二步（建立方程）：设垂直于墙的边长为 x 米，用 x 表示平行于墙的边长（18 - 2x），列出面积关系式 S = x (18 - 2x)，转化为一元二次方程（若求 “面积为 40 平方米时的边长”，则列 x (18 - 2x) = 40）。

第三步（求解与检验）：解一元二次方程，得到两个根后，结合 “墙长限制” 和 “边长为正” 的要求，排除不合题意的根（如 x=5 时，平行于墙的边长为 8 米≤10 米，合理；x=4 时，边长为 10 米，也合理；若 x=10，边长为 - 2 米，舍去）。