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【央视新闻客户端】

原创 Quanta Magazine zzllrr小乐

根据数学八卦，Peter Sarnak和Noga Alon在1980年代末押注了最优图。现在他们都被证明是错的。

图源：Michele Sclafani / Quanta Magazine

作者：Leila Sloman（量子杂志特约记者）2025-4-18

译者：zzllrr小乐（数学科普公众号）2025-4-19

1980年代末，在洛桑的一次会议上，数学家Noga Alon（诺加·阿隆，1963 -）和Peter Sarnak（彼得·萨纳克，1953 -）进行了一场友好的辩论。两人都在研究称为图（graph）的节点和边的集合。特别是，他们希望更好地理解一种称为扩展图（expander）的矛盾类型的图，这种图的边相对较少，但仍然高度互连。

争论的焦点是最优的扩展图：那些尽可能地连接的扩展图。Sarnak提出这样的图很少见；他和两位合作者很快发表了一篇论文 https://link.springer.com/article/10.1007/BF02126799 ，该论文使用数论中的复杂思想来构建示例，他认为任何其他结构都同样难以实现。

另一方面，Alon寄希望于随机图经常显示各种最优性质的事实。他认为这些非常好的扩展图会很常见——如果你从一大堆可能性中随机选择一个图，你几乎可以保证它是一个最优的扩展图。

如今，Alon和Sarnak是普林斯顿大学的同事。在这35年里，赌注的细节变得模糊不清。“情况不是很严重，”Alon回忆道。“我们甚至没有就我们下注的内容达成一致。”

尽管如此，这个八卦仍然存在，微妙地推动数学家们想得出谁是对的。去年12月，三位数学家通过挖掘物理学中的一个关键现象并将其推向极限，终于做出了裁决 https://arxiv.org/abs/2412.20263 。Alon和Sarnak都错了。

自从数学家在1960年代开始研究以来，扩展图一直被用来对大脑进行建模 https://colab.ws/articles/10.1007%2F978-94-017-2973-4_11 、进行统计分析和构建纠错码——即使它们在传输过程中出现乱码，也可以读取的加密信息。

因为扩展图的边很少，所以它们的效率非常高。但是，由于它们也是高度连通的，因此它们仍然能够抵御潜在的网络故障。Sarnak说，这种紧张关系“使它们既违反直觉，又非常有用”。

因此，数学家希望更好地理解它们。减少边数和增加图的连通性之间的这种紧张关系能推到多远？这种张力最高的特别好的扩展图有多常见？

为了回答这些问题，研究人员需要精确定义扩展。有很多方法可以做到这一点。其一，为了将扩展图拆分为两个单独的部分，你必须擦除许多边。其二，如果你沿着图的边徘徊，在每一步中随机选择方向，那么用不了多久，你就会探索完整个图。

图由通过边连接的节点组成。在一种特殊的图称为扩展图（expander）中，每个节点都有相对较少的边，但图仍然高度连通。这种特性使扩展图在各种应用中非常实用。

在本例中，每个节点只有三条边，但连通性很高：如果你随机沿着图中的边漫游，很快你就会探索完整个图。

此图连通差：从一个节点到另一个节点的路径很少。

图源：Merrill Sherman / Quanta Magazine

1984年，数学家Józef Dodziuk证明，所有这些扩展都通过一个量相关联——至少对于某些类型的图来说是这样。在这些所谓的正则图（regular graph）上，每个节点都有相同数量的边。这可确保整个图形的边相对较少。要使它成为扩展图，你只需证明它连接良好。这就是Dodziuk数的来源。

要计算此数量，你必须首先构造一个1和0的数组，称为邻接矩阵（adjacency matrix）。此邻接矩阵表示图形中的哪些节点由边连接，哪些节点不是。

然后，你可以使用此矩阵计算一个数字（称为特征值eigenvalue）序列，这些数字提供有关原始图的有用信息。例如，最大的特征值给出了连接到图的每个节点的边数。Dodziuk发现，第二大的特征值告诉你图的连通程度。这个数字越小，图形的连通性就越强 — 使其成为更好的扩展图。

在Dodziuk的发现之后不久，Alon和Ravi Boppana证明，如果正则图中的每个节点都有d条边，则第二特征值不会比2√(d?1)小得多。第二特征值接近此“Alon-Boppana界限”的正则图是一个好的扩展图；相对于具有相同边数的其他正则图，它连接良好。但是第二特征值实际上达到界限的正则图——这种图是可以想象到的最好的扩展图。

在1980年代末，数学家Peter Sarnak（上）和Noga Alon（下）押注了一种最优图的普遍性。事实证明，这两种说法都不是正确的。

对于某些数学家（其中包括Sarnak）来说，Alon-Boppana界限是一个令人着迷的挑战。他们想知道，能否构建达到这个极限的图？

1988年发表的一篇具有里程碑意义的论文中 https://link.springer.com/article/10.1007/BF02126799 ，Sarnak、Alexander Lubotzky和Ralph Phillips想出了如何做到这一点。利用印度数学天才Srinivasa Ramanujan（斯里尼瓦瑟·拉马努金，1887 - 1920）在数论方面的高技术性结果，Sarnak和他的合作者制作了实现Alon-Boppana界限的正则图。

因此，他们将这些最优扩展图称为“拉马努金图”（Ramanujan graph）。（同年，Grigorii Margulis使用不同但仍然技术性很强的方法来构建其他示例。https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paperjrnid=ppipaperid=686option_lang=eng ）

“直觉上，你似乎预料到”构建拉马努金图所涉及的几乎令人望而却步的困难，新泽西州普林斯顿高等研究所的Ramon van Handel（拉蒙·范·汉德尔）说。“看起来最好的图应该很难实现。”

但在数学中，难以构建的对象往往出奇地常见。“这是这个行业的普遍现象，”van Handel说。“你可以可视化的任何示例都不会有这些性质，但一个随机示例却有。”

包括Alon在内的一些研究人员认为，这同样可能适用于拉马努金图。Alon认为，找到这些图所需的艰巨努力更多地说明了人类的思想并不丰饶。这种信念导致了 Alon和Sarnak的赌注：

Sarnak打赌，如果你收集所有正则图，拉马努金图的比例可以忽略不计；Alon打赌，那些几乎都是拉马努金图。很快，关于Alon和Sarnak打赌的传言在社区中流传，即使当时的记忆有所不同。

“说实话，这更像是民间八卦，”Sarnak承认。“我实际上不记得那件事了。”

几十年后的2008年，对大量正则图及其特征值的分析表明，答案并不明朗 https://projecteuclid.org/journals/experimental-mathematics/volume-17/issue-2/The-Distribution-of-the-Largest-Nontrivial-Eigenvalues-in-Families-of/em/1227118974.full 。有些图是拉马努金图，有些不是。这让弄清楚确切的比例更加令人困惑。当证明一个适用（或都不适用）于所有图的性质时，数学家们有一个可以求助的大型工具包。

但是要证明一些图是拉马努金，而另一些不是——这需要精度，图论学家不确定这种精度从何而来。

后来，在数学的一个完全不同的领域，一位名叫姚鸿泽（Horng-Tzer Yau，1959 -）的研究人员正在弄清楚这一点。

通过十余年研究随机图的矩阵，姚鸿泽（Horng-Tzer Yau）攻克了有关其性质的一个重大难题。

当图论学家努力思考2008年研究的含义时，哈佛大学教授姚鸿泽对特征值的痴迷已经有几年了。这些特征值来自更广泛的矩阵类，其元素是随机生成的 — 例如，通过抛硬币或执行其他一些随机过程。姚鸿泽想了解矩阵的特征值如何根据你使用的随机过程而变化。

这个问题可以追溯到1955年，当时物理学家Eugene Wigner（尤金·维格纳，1902 - 1995）使用随机矩阵对铀等重原子中的原子核行为进行建模。通过研究这些矩阵的特征值，他希望深入了解该系统有多少能量。

Wigner很快就注意到了一些奇怪的事情：不同随机矩阵模型的特征值似乎都表现出相同的模式。对于任何随机矩阵，每个特征值也是随机的；选择一个值域，它有一定的概率落在该范围内。但是，如果随机矩阵仅由1和-1组成，或者它的元素可以是任何实数，这些似乎并不重要。在每种情况下，其特征值落在特定值范围内的概率都没有改变。

物理学家尤金·维格纳（Eugene Wigner）在他正在研究的各种随机系统中观察到令人惊讶的普遍行为。数学家现在已经扩展了这种行为的范围。

Wigner推测，任何随机矩阵的特征值都应该始终服从相同的概率分布。他的预测被称为普遍性猜想（universality conjecture）。

这个想法很“疯狂”，姚鸿泽说。“很多人不相信他说的话。”但随着时间的推移，他和其他数学家证明了普遍性猜想适用于许多种类的随机矩阵。一次又一次，Wigner被证明是正确的。

姚鸿泽现在想看看他能把这个猜想推到什么程度。“我试图寻找可能超出我们对一个标准矩阵的理解的问题，”他说。

因此，在2013年，当Sarnak提议姚鸿泽研究与随机正则图相关的矩阵特征值时，他接受了这个挑战。

如果姚鸿泽能够证明这些特征值服从普遍性猜想，他就会知道它们的概率分布。然后，他可以使用该信息来计算第二特征值达到Alon-Boppana界限的可能性。换句话说，他将能够对Sarnak和Alon关于正则图中拉马努金图的占比赌注给出明确的答案。

“[Sarnak]一直戳我，'你能做到吗？'”姚鸿泽说。

许多种类的随机矩阵，包括激发Wigner猜想的随机矩阵，都具有良好的性质，可以直接计算其特征值的分布。但是邻接矩阵不具有这些性质。

2015年左右，姚鸿泽和他的研究生黄骄阳以及另外两名合作者提出了一个计划。首先，他们将使用一种随机过程稍微调整邻接矩阵中的元素，得到一个表现出他们需要的性质的新随机矩阵。

然后，他们将计算这个新矩阵的特征值分布，并证明它满足普遍性猜想。

最后，他们将证明他们所做的调整太小，不会影响原始矩阵的特征值——这意味着原始矩阵也满足普遍性猜想。

黄骄阳在概率论方面的研究使他致力于研究数学、物理和计算机科学方面的问题。

2020年，黄骄阳研究生毕业后，数学家们能够使用这种方法将普遍性猜想扩展到一定大小的正则图 https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-020-00538-0 。只要图有足够的边，它的第二特征值就会具有与Wigner几十年前研究的相同的分布。但要找出 Alon和Sarnak赌注的答案，数学家需要证明所有正则图的普遍性猜想，而不仅仅是一些。

然后，在2022年秋天，一位名叫Theo McKenzie（西奥·麦肯齐）的博士后研究员来到哈佛，渴望更多地了解黄骄阳、姚鸿泽和他们的合作者为2020年证明开发的工具。还有很多工作要做。“我们已经工作了这么长时间，”姚鸿泽说。

但McKenzie“相当无所畏惧”，加州大学伯克利分校的数学家、McKenzie的前博士生导师Nikhil Srivastava（尼基尔·斯里瓦斯塔瓦）说。“他不怕解决这些非常困难的问题。”

在研究了黄骄阳和姚鸿泽的方法数月后，McKenzie终于觉得准备好了帮忙提供一双全新的眼睛和双手了。“你希望大家能够检查许多细节并提出许多不同的问题，”姚鸿泽说。“有时你需要更多的人力。”

起初，这三位数学家不得不接受部分结果。他们无法执行证明策略的第二步 — 计算调整后的矩阵的特征值分布 — 精确到足以证明所有正则图的普遍性猜想。但他们能够证明特征值仍然满足重要的性质。这些特性强烈表明猜想是正确的。

Theo McKenzie（西奥·麦肯齐）是最后一个加入数学家团队的人，该团队解决了关于所谓拉马努金图性质的数十年争论。

“我知道他们正处于解决这个问题的边缘，”Sarnak说。

后来，在一个单独的项目中，黄骄阳已经在考虑他们需要的最终成分。

黄骄阳一直在独立研究一组循环方程（loop equations），这些方程描述随机矩阵模型中特征值的行为。他意识到，如果他、McKenzie和姚鸿泽能够证明他们的矩阵以足够高的准确度满足这些方程，那么他们将获得所需的缺失信息，以让他们进行第二步工作。

他们就是这样做的。经过几个月的艰苦计算，他们得到了证明。所有正则图都遵循Wigner的普遍性猜想：随机选择一个正则图，其特征值将表现出相同的已知值分布。

这也意味着这三人组现在知道第二特征值取值的精确分布。他们可以计算这些特征值中有多少部分达到Alon-Boppana界限，即随机正则图的哪一部分是完美扩展图。

三十多年后，Sarnak和Alon找到了他们赌注的答案。结果证明这个比例约为69%，这使得这些图既不常见也不罕见。

Sarnak是第一个得到这个消息的人。“他告诉我们，这是他收到过的最好的圣诞礼物，”黄骄阳说。“所以我们觉得一切都是值得的。”

结果还表明，普遍性猜想比研究人员预测的更广泛、更强大。数学家希望继续突破这些极限，并使用新证明的技术来解决相关问题。

但与此同时，他们可以享受更多地了解难以捉摸的拉马努金图宇宙的乐趣。

“我们俩打赌的都有点错了，”Alon说。“不过，”他笑着补充道，“我说得更正确一点，因为概率大于一半。”

https://www.quantamagazine.org/new-proof-settles-decades-old-bet-about-connected-networks-20250418/

小乐数学科普：2024年Wolf沃尔夫奖数学奖得主出炉：诺加·阿隆（Noga Alon）、阿迪·萨莫尔（Adi Shamir）

https://link.springer.com/article/10.1007/BF02126799

https://colab.ws/articles/10.1007%2F978-94-017-2973-4_11

https://link.springer.com/article/10.1007/BF02126799

https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paperjrnid=ppipaperid=686option_lang=eng

https://projecteuclid.org/journals/experimental-mathematics/volume-17/issue-2/The-Distribution-of-the-Largest-Nontrivial-Eigenvalues-in-Families-of/em/1227118974.full

https://link.springer.com/article/10.1007/s00039-020-00538-0

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