数列{an}满足递推公式an+1=an+n且a1=1，则通项公式an= 标题：探究数列{an}的通项公式：an+1=an+n与a1=1的应用
开心田螺
2025-03-21 21:00:07
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给定的数列 \(\{a_n\}\) 满足的关系是 \(a_{n+1} = a_n + n\)，并且已知 \(a_1 = 1\)。
根据这个递推关系，我们可以逐步计算出数列的前几项来寻找规律：
- 对于 \(n = 1\)，我们有 \(a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- 对于 \(n = 2\)，我们有 \(a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)
- 对于 \(n = 3\)，我们有 \(a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)
可以看出，每一项都是通过将当前项与一个逐渐增大的整数相加得到的。为了找到一般形式的 \(a_n\)，我们可以尝试从初始值出发，通过累加的方式来表达 \(a_n\)。
考虑到 \(a_{n+1} = a_n + n\)，可以写成累加的形式为：
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
由于 \(a_1 = 1\)，代入得：
\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
我们知道等差数列求和公式为 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}\)，所以：
\[a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}\]
因此，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为：
\[a_n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}\]
根据这个递推关系，我们可以逐步计算出数列的前几项来寻找规律：
- 对于 \(n = 1\)，我们有 \(a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- 对于 \(n = 2\)，我们有 \(a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)
- 对于 \(n = 3\)，我们有 \(a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)
可以看出，每一项都是通过将当前项与一个逐渐增大的整数相加得到的。为了找到一般形式的 \(a_n\)，我们可以尝试从初始值出发，通过累加的方式来表达 \(a_n\)。
考虑到 \(a_{n+1} = a_n + n\)，可以写成累加的形式为：
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
由于 \(a_1 = 1\)，代入得：
\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
我们知道等差数列求和公式为 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}\)，所以：
\[a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}\]
因此，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为：
\[a_n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}\]
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