数列{an}满足递推公式an+1=an+n且a1=1，则通项公式an= 标题：探究数列{an}的通项公式：an+1=an+n与a1=1的应用
开心田螺
2025-03-21 21:00:07
0次
给定的数列 \(\{a_n\}\) 满足的关系是 \(a_{n+1} = a_n + n\)，并且已知 \(a_1 = 1\)。
根据这个递推关系，我们可以逐步计算出数列的前几项来寻找规律：
- 对于 \(n = 1\)，我们有 \(a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- 对于 \(n = 2\)，我们有 \(a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)
- 对于 \(n = 3\)，我们有 \(a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)
可以看出，每一项都是通过将当前项与一个逐渐增大的整数相加得到的。为了找到一般形式的 \(a_n\)，我们可以尝试从初始值出发，通过累加的方式来表达 \(a_n\)。
考虑到 \(a_{n+1} = a_n + n\)，可以写成累加的形式为：
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
由于 \(a_1 = 1\)，代入得：
\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
我们知道等差数列求和公式为 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}\)，所以：
\[a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}\]
因此，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为：
\[a_n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}\]
根据这个递推关系，我们可以逐步计算出数列的前几项来寻找规律：
- 对于 \(n = 1\)，我们有 \(a_2 = a_1 + 1 = 1 + 1 = 2\)
- 对于 \(n = 2\)，我们有 \(a_3 = a_2 + 2 = 2 + 2 = 4\)
- 对于 \(n = 3\)，我们有 \(a_4 = a_3 + 3 = 4 + 3 = 7\)
可以看出，每一项都是通过将当前项与一个逐渐增大的整数相加得到的。为了找到一般形式的 \(a_n\)，我们可以尝试从初始值出发，通过累加的方式来表达 \(a_n\)。
考虑到 \(a_{n+1} = a_n + n\)，可以写成累加的形式为：
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
由于 \(a_1 = 1\)，代入得：
\[a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} k\]
我们知道等差数列求和公式为 \(\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}\)，所以：
\[a_n = 1 + \frac{(n-1)n}{2}\]
因此，数列 \(\{a_n\}\) 的通项公式为：
\[a_n = 1 + \frac{n(n-1)}{2}\]
相关内容
热门资讯
小赢淘金app做现货订购持续亏...
小赢淘金app做现货订购持续亏损，受害者该如何追回损失？
每日淘金APP持续诱导投资者充...
每日淘金APP持续诱导投资者充值，贵金属订购为非法交易骗局！
骗局亏损:《心伴》受骗源于轻信...
心伴平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？心伴平台软件[...
被骗怎么办:《海豹他趣》被骗亏...
海豹他趣平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？海豹他趣平...
不可信:《mnUY Et》各种...
mnUY Et平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？mn...
仁者能仁:《亚吉查姆娱乐》骗局...
亚吉查姆娱乐平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？亚吉查...
骗局亏损:《两只手钻戒图标》受...
两只手钻戒图标平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？两只...
怎么样:《kJyTxc》花间隐...
kJyTxc平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？kJy...
闻所未闻:《频遇》受骗不能出金...
频遇平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？频遇平台软件[...
头上安头:《七猫文化传媒》受骗...
七猫文化传媒平台软件怎么样?平台软件怎么样靠谱吗?平台软件怎么样可信吗？平台软件怎么样正规吗？七猫文...