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2025 新教材人教版高中数学必修第三册单元总结

第七章 三角函数

单元概述

本章以角的概念扩展为起点，系统研究三角函数的定义、图象与性质，强化三角恒等变换的应用。重点培养学生从代数与几何双重角度分析问题的能力，为后续向量、解析几何等内容奠定基础。

核心内容

1. 任意角与弧度制

• 掌握角度与弧度的互化，理解终边相同角的表示方法。
• 重点：象限角的判定，扇形弧长与面积公式。

1. 三角函数的定义与性质

• 基于单位圆理解正弦、余弦、正切函数的定义。
• 图象与性质：周期性、奇偶性、单调性，对称轴与对称中心。
• 易错点：三角函数在各象限的符号，周期公式的灵活应用。

1. 诱导公式与三角恒等变换

• 掌握 “奇变偶不变，符号看象限” 的记忆规律，实现角度化简。
• 重点：和差角公式、倍角公式的推导与逆向应用。

1. 三角函数的应用

• 利用三角函数模型解决周期性问题（如简谐振动、潮汐现象）。
• 难点：实际问题中函数模型的建立与参数求解。

学习策略

• 数形结合：通过单位圆与三角函数图象理解概念，制作 “图象变换流程图” 掌握平移、伸缩规律。
• 题型分类：整理 “15 类高频题型清单”，如 “已知三角函数值求角”“含参函数性质分析” 等。
• 错题管理：建立 “象限符号判断”“周期计算” 专项错题本，标注典型错误原因。

第八章 向量的数量积与三角恒等变换

单元概述

本章以向量的数量积为纽带，融合三角恒等变换，深化代数与几何的联系。重点培养学生的向量运算能力与数学建模素养。

核心内容

1. 向量的数量积

• 定义与几何意义：投影概念，数量积的坐标运算。
• 性质应用：垂直与平行的判定，向量模长与夹角的计算。

1. 三角恒等变换

• 和差角公式、倍角公式的综合应用，辅助角公式的化简技巧。
• 难点：公式的灵活变形（如降幂、升幂），多角组合问题的处理。

1. 解三角形

• 正弦定理、余弦定理的推导与应用，三角形面积公式的拓展。
• 实际问题：测量距离、高度、角度等场景的建模与求解。

学习策略

• 模型构建：建立 “向量运算→三角恒等→解三角形” 的知识网络，标注各环节的衔接点。
• 典型例题：整理 “12 类重点题型清单”，如 “向量与三角函数结合求最值”“三角形多解问题” 等。
• 跨学科整合：结合物理学科中力的合成与分解，理解向量数量积的实际意义。

全册综合复习策略

1. 分层训练：

• 基础层：掌握三角函数定义、向量运算的基本规则。
• 提升层：突破含参数函数性质分析、多知识点综合应用题。

1. 数学思想渗透：

• 转化与化归：如将三角函数最值问题转化为二次函数问题。
• 分类讨论：处理角度范围、向量方向的不确定性问题。

1. 备考建议：

• 制作 “公式速查表”，强化三角恒等式与向量运算公式的记忆。
• 通过 “限时训练” 提升解题速度，重点突破 “三角函数与向量综合题”。

通过系统化单元学习，学生将构建 “函数 — 向量 — 几何” 的综合分析能力，为高考及后续学习奠定坚实基础。