柯尔莫哥洛夫（Andrey N. Kolmogorov，1903年4月25日-1987年10月20日）

柯尔莫哥洛夫是一位杰出的数学家、教育家. 他对数学领域的许多学科，特别是现代概率论的发展做出了重大贡献. 在60多年的教师生涯中，培养了一大批优秀人才，功勋卓著.

一、确定志向

1903年4月25日，柯尔莫哥洛夫生于俄罗斯坦波夫市（Tambov）. 他原籍是位于俄罗斯中部地区的雅罗斯拉夫尔州（Yaroslavl）附近的图诺申诺（Tunoshna），父亲是当地农庄的农艺师. 母亲玛利亚·雅可夫列夫娜（Maria Yakovlena）在回庄园途中临产，因汽车受阻而停留在坦波夫，不幸在那里难产死去. 从此，由玛利亚的妹妹薇拉（Vera）承担抚养和教育小柯尔莫哥洛夫的重任. 小柯尔莫哥洛夫在图诺申诺度过了幼年；6 岁那年随姨妈迁居莫斯科.

柯尔莫哥洛夫的健康成长，得感谢这位好姨妈. 薇拉是位有教养，有崇高社会理想的自立的女性，她的思想对外甥很有影响，在强烈的求知欲和独创精神方面尤为显著. 少年的柯尔莫哥洛夫兴趣广泛，对历史、生物、人文等方面的书都很爱研读. 1910年，柯尔莫哥洛夫进入莫斯科普列曼私立古典中学预备班学习. 这是一所由文化素养较高的知识分子办的学校，柯尔莫哥洛夫在这里受到良好的教育.

柯尔莫哥洛夫少年时已显露出很强的自主性，能妥善地支配时间抓紧学习. 12至14岁时，他按《百科全书》的内容有系统地自学高等数学，读了有关社会制度、立宪议会知识方面的书，1917年10月革命风暴掀起，14岁的柯尔莫哥洛夫为社会变革中出现的一些新事物所吸引，参加了立宪议会选举. 后来他回忆起这段往事，认为对一名14岁的孩子来说，参加这些活动对了解社会、培养对社会的责任感颇有影响.

在进入莫斯科大学之前，柯尔莫哥洛夫已经工作，他在铁路上当列车员、锅炉工、车厢图书管理员等. 他随列车遍游了俄罗斯. 这一职业使他能接触各阶层人民群众，饱赏大自然风光景色，这对后来柯尔莫哥洛夫在科学活动中表现出的一种视野开阔的品格，不可能没有影响.

柯尔莫哥洛夫起初并没有把数学作为自己的志向，而是对历史充满了兴趣. 进入莫斯科大学以后，他很有兴致地参加了由著名历史学家巴赫鲁申（Bakhrushin，1882-1950）教授主持的讨论班，并依据15～16世纪留下的土地财产簿对诺夫戈德地区的土地关系进行研究，又对古代上游某地区的移民路线做出推测. 后来，专家组织考察，证实了柯尔莫哥洛夫的推测是正确的. 这些研究成果，足以说明柯尔莫哥洛夫对人文科学的研究能力. 同时对工程建设的向往，使他进莫斯科大学时，又成为化工学院冶金专业的学生，并自信能成为一名治金师.

青年时代的柯尔莫哥洛夫

然而，这段时间他在数学领域也出了成果. 1922年，在前辈学者、莫斯科学派的领导成员卢津（Luzin，1883-1950）的影响下，他完成了第一篇论文《关于傅立叶系数的阶》. 在这篇文章里，柯尔莫哥洛夫构造了几乎处处发散的傅立叶级数的例子，接着又构造了每一点都发散的傅立叶级数的例子. 这些例子使专家们受到震动，对深人研究函数论有很大作用.

这一成果，促使柯尔莫哥洛夫最终决定转向数学，并成为卢津的高才生. 1925年，他以优异的成绩毕业，此后继续在卢津主持的研究班里学习和开展学术研究，从此也开始了他大学教师的生涯.

二、累累硕果

自柯尔莫哥洛夫19岁发表第一篇论文到84岁去世为止的65年中，他研究涉足的领域包括：函数论、概率论、数理逻辑、湍流力学、遍历理论、动力系统理论、信息论、自动控制理论、数学史等. 他的贡献归纳起来大致有以下几个方面.

1. 概率论

早在1924年，柯尔莫哥洛夫就开始以测度和实变函数论为基础，把概率论的发展推进到一个崭新的阶段，为随机过程的理论提供了必要的基础. 1928年，他证明了大数定律的必要和充分条件，同时还证明了在项数上加上极宽条件时有关独立随机变量的重对数法则. 此外，他推广了古典的切比雪夫不等式，提出著名的柯尔莫哥洛夫不等式.

1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，为现代马尔可夫随机过程和揭示概率论与常微分方程及二阶偏微分方程的内在联系奠定了基础. 这些理论对力学、生物学、化学和工程技术都有价值，迅速成为现代自然科学的有力工具.

1933年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的基本概念》，建立了概率公理化体系，给出了无穷可分律的分布表达式，提出了经验分布和实际分布的最大偏差的极限法则，即柯尔莫哥洛夫准则，创立了具有可数集状态的马尔可夫理论.

2. 湍流力学

柯尔莫哥洛夫重视数学的应用，常常把抽象的数学理论与自然科学实验融为一体. 30年代末，柯尔莫哥洛夫对气流、液流运动的一些规律问题进行研究，用统计力学和建立随机函数的方法对这些力学现象作严格的数学描述，创立了统计流体力学. 他在这方面的主要著作发表于1941年，文章引用函数空间的测度，对具有很大自由度且极端复杂的非线性系统演变过程的本质开展研究，得出这一演变规律的数量关系，提出著名的“三分之二法则”，即在任意高度的湍流运动中，距离r的两个质点运动的均方差正比于.

3. 数理逻辑

战后，柯尔莫哥洛夫研究了数理逻辑基础及其在几何学、概率论、信息论中的应用，他早年和晚年都钻研过数理逻辑，包括算法论和数学基础. 早在1925年，他在《数学文集》上发表了关于排中律的文章. 文章提出潜入运算的概念与方法，现在被称为柯尔莫哥洛夫运算. 1932年，他发表第二篇关于直观逻辑的文章，提出把直观逻辑解释为结构逻辑的可能性.

1952年，柯尔莫哥洛夫提出物质构造的最普遍的定义和算法的最一般定义. 1954年的文章形成计数法理论的最初概念. 1972年，他在莫斯科大学数学系首先开设数理逻辑必修课.

1973年，柯尔莫哥洛夫在准备自己的报告

4. 动力系统理论

50年代初，柯尔莫哥洛夫研究了动力学系统理论. 这一课题是牛顿、拉普拉斯、庞加莱等学者的研究的延续与发展，他的文章《动力学的基础问题》涉及哈密顿系统的一般理论以及关于天体运行的三体和多体问题. 柯尔莫哥洛夫将信息论的思想用于动力系统，这体现在他与他的学生阿诺德（Arnold）合写的关于摄动哈密顿系统的著作里，这本著作获得1965年列宁奖金.

阿诺德（Vladimir Arnold，1937-2010）

在《过渡的动力系统与勒贝格同构空间的新度量的变量》一文中，柯尔莫哥洛夫引进熵的特征值的概念，文章对动力系统的遍历定理的发展起着特殊的作用，由此开创了一系列新课题的研究. 文章提出的拟正则概念，后来被学术界为纪念他的这一新观点而命名为“K-系统”.柯尔莫哥洛夫还把遍历理论的思想用于研究湍流型的力学现象并取得成功.

5. 数学史

在柯尔莫哥洛夫的著作中，数学史占显著地位. 他提出数学发展的时期划分，对每一时期数学发展的动力及科学家的贡献给予评价，对各时期所积累的经验也给予概括. 他还专门考察了概率论这一分支的发展分期，对俄罗斯科学家如切比雪夫，马尔可夫，李雅普诺夫等对概率论的成熟及发展所做的特殊贡献给予颂扬. 此外，对罗巴切夫斯基创立非欧几何之后，在数学思维方法上所引起的变化作了深刻的分析. 柯尔莫哥洛夫还写文章评价了德国数学大师康托、希尔伯特的思想和成就. 他还担任过《19世纪数学史》丛书的编辑.

总的来说，柯尔莫哥洛夫科学研究的特点是既有工作重心，又能四面出击，他常把几个领域的成果相互渗透，左右蔓延，向国民经济和技术部门扩大战果.

他既是理论家，又是实践家. 他曾亲自参加海洋考察队和军事上关于炮火程序控制方面的研究，在研究领域的广泛性与交叉性方面极突出.

三、桃李满园

柯尔莫哥洛夫一贯重视教育，他既是科学家，又是教育家. 他亲自讲课，编写大纲、教材，主持讨论班等，使一代又一代人在他精心培育下成长.

柯尔莫哥洛夫与他创办的学校学生一起

1922年，19岁的柯尔莫哥洛夫就在俄罗斯联邦人民教育委员会实验中学兼课，开始了教师生涯. 在这所中学他一直工作到1925年大学毕业为止. 他热爱教师工作，具有良好的教师素质. 1931年，他成莫斯科大学教授，1933至

1939年还担任大学的数学研究所所长. 他特别注意培养青年，善于在大学生和研究生中选拔人才，让他们参加由他主持的讨论班. 由于柯尔莫哥洛夫的基础扎实，知识渊博，对所研究的课题具有深刻的洞察力，每次讨论都进行得很热烈，使参加者受益匪浅. 在柯尔莫哥洛夫的学生中有7名国家科学院院士，5名通讯院士，70名加盟共和国科学院院士和一大批享有盛誉的学者.

柯尔莫哥洛夫爱好文学，喜欢欣赏绘画、雕刻、建筑艺术. 此外，他还是一名卓越的滑雪运动员和游泳能手. 课余时，他常参加徒步旅行. 在假日喜欢组织3至5名研究生或大学生到莫斯科郊外旅游. 郊游中除了讨论数学问题之外，还谈论沿途的建筑、雕塑、名胜古迹和文化生活中的突出事件，与青年人共进午餐. 通过对人类智慧和文明的赞颂，增强了他们探求科学、创造美好未来的信念，使参加者心境开阔. 许多青年成才之后，对昔日的郊游活动总是记忆犹新，难以忘怀.

柯尔莫哥洛夫在户外徒步

柯尔莫哥洛夫还是教学活动的组织者，他的工作中心一直在莫斯科大学. 1938 至1966年主持由他创建的概率论教研室的工作，1966年至1976年主持由他创建的统计方法试验室的工作；1976年至逝世前担任数理统计教研主任和数理逻辑教研室主任.

柯尔莫哥洛夫非常关心中学教育. 在莫斯科第18 寄宿中学（即柯尔莫哥洛夫中学）的筹建和创办时期，他倾注了心血，亲自到校讲课，上习题课. 在他指导下编写的中学教材《代数与初等分析》成为苏联通用教科书. 柯尔莫哥洛夫还饶有兴趣地为中学生开设音乐、绘画和文学讲座，体现了老教育家既重视开发学生的智力，又重视美学的远见卓识. 这所中学为莫斯科大学输送了大批本科生和研究生. 学生曾多次获得全苏或国际奥林匹克竞赛奖.

四、饮誉世界

柯尔莫哥洛夫的科学活动在国内外都得到很高的评价. 他7次获得列宁勋章，被授予苏联社会主义劳动英雄称号，是列宁奖金和国家奖金的获得者. 1963年，他荣获国际巴尔赞奖，1980年获得国际数学界的崇高奖赏——沃尔夫奖.

柯尔莫哥洛夫曾被选为20多个国外学术团体的会员，是荷兰、英国、匈牙利、美国、法国、德国、罗马尼亚、芬兰等国科学院的外国院士或名誉院士. 能得到这样多的荣誉，在国际数学界是首屈一指的.

在柯尔莫哥洛夫70周年、75周年和80周年诞辰时，苏联科学界都组织过纪念活动. 苏联数学学会和《数学科学成就》等杂志发表对他的颂文. 在1978年庆祝他75周岁生日的集会上，主持者所致的颂词中说：

您不但以自己的真知灼见丰富了上述这些数学领域，而且发展了数学的应用，您一贯重视数学的应用及其与其他科学的联系，您在学术上的兴趣是非常广泛的. 您有当教师的天赋，总是吸引着有才华的青年们. 您建立了全世界闻名的科学学派，这个学派的代表人物正在数学各个领域和其他自然科学领域内卓有成效地工作着。

1987年10月20日，柯尔莫哥洛夫与世长辞. 他所走过的宏伟壮丽的教学和科研历程，永远鼓舞着无数后来者去开创更加美好的未来.

柯尔莫哥洛夫的安息之地

本文内容来自黄汉平《现代概率论的奠基人——柯尔莫戈洛夫》，《自然杂志》第13卷（1990年）第3期，做少量修改并添加图片，供学习和参考.