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北京版三年级数学（上册）电子课本在线阅读

在学习数学概念时，用实际例子 “搭桥” 是将抽象符号、逻辑转化为可感知、可应用知识的核心方法。这种方式能帮你从 “死记定义” 升级为 “理解本质”，甚至主动迁移知识。以下按 “不同数学领域” 分类，结合具体概念和实例，详解如何操作：

一、核心原则：用实例 “拆解” 概念的 3 个维度

在找例子前，先明确一个概念通常包含 3 个关键部分，实例需精准对应这些维度，才能避免 “泛泛而谈”：

1. “是什么”：用实例解释概念的 “本质属性”（排除非本质干扰）；
2. “为什么”：用实例说明概念的 “产生背景”（为什么需要这个概念）；
3. “怎么用”：用实例展示概念的 “应用场景”（解决什么实际问题）。

二、分领域举例：从基础到进阶的实例应用

（一）小学数学：用 “生活场景” 对接具象概念

小学数学概念多与生活直接相关，实例优先选 “日常可见、可操作” 的场景（如购物、测量、分配）。

例 1：概念 —— 分数的 “意义”（五年级）

• 死记定义：把单位 “1” 平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫分数。
• （易混淆点：“单位 1”、“平均分” 是核心，缺一不可）
• 用实例拆解：

1. 解释 “单位 1”（是什么）：

• 实例 1（单个物体）：把 1 块披萨看作 “单位 1”，平均分成 8 份，1 份就是 1/8，3 份就是 3/8；
• 实例 2（多个物体）：把 4 个苹果看作 “单位 1”，平均分成 2 份，1 份是 2 个苹果，对应分数 1/2（而非 2/4，避免 “个数” 与 “份数” 混淆）。
• 作用：通过 “单个 vs 多个” 实例，明确 “单位 1” 可以是任意 “可分的整体”，而非仅限 “1 个”。

1. 强调 “平均分”（为什么）：

• 反例：把 1 块蛋糕随便分成 3 块，不能说每块是 1/3（因为没 “平均”）；只有用尺子量着切、确保 3 块大小相同，才是 1/3。
• 作用：用 “正反对比” 凸显概念的 “本质属性”，避免误解。

1. 应用场景（怎么用）：

• 问题：妈妈买了 1 升牛奶，小明喝了 1/4，爸爸喝了 2/4，还剩几升？
• 对应：把 “1 升牛奶” 看作单位 1，剩余 = 1 - 1/4 - 2/4 = 1/4，即 0.25 升。
• 作用：从 “分披萨” 过渡到 “算用量”，体现概念的实用性。

例 2：概念 —— 正比例关系（六年级）

• 死记定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且比值一定，这两种量成正比例。
• 用实例拆解：

1. “相关联”+“比值一定”（是什么）：

• 实例：买铅笔，每支 2 元（单价固定）。买 1 支花 2 元，买 2 支花 4 元，买 3 支花 6 元……
• 对应：“数量” 和 “总价” 是相关联的量（数量变，总价也变）；总价 ÷ 数量 = 2（比值不变，即单价），所以二者成正比例。

1. 反例对比（为什么）：

• 实例：小明的身高和年龄 —— 年龄增长，身高可能增长，但 “身高 ÷ 年龄” 的比值不固定（比如 10 岁时身高 140cm，比值 14；12 岁时 150cm，比值 12.5），所以不成正比例。

1. 应用：求未知量（怎么用）：

• 问题：买 5 支同样的铅笔要花多少钱？
• 用正比例：设总价为 x 元，x÷5=2 → x=10 元。

（二）初中数学：用 “直观模型” 对接抽象逻辑

初中数学开始涉及 “符号化”“抽象关系”（如方程、函数、几何定理），实例可借助 “图形、表格、具体问题” 降低理解难度。

例 1：概念 —— 一元一次方程（七年级）

• 死记定义：只含有一个未知数，未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程。
• 用实例拆解：

1. “为什么需要方程”（背景）：

• 问题：小明有 20 元，买了 3 本笔记本后还剩 5 元，每本笔记本多少钱？
• 算术法：（20-5）÷3=5（逆向思维，需先算 “花了多少钱”）；
• 方程法：设每本 x 元，列 3x + 5 = 20（正向思维，直接按 “买本花的钱 + 剩下的钱 = 总钱数” 列式）。
• 作用：通过 “算术 vs 方程” 对比，理解方程是 “用符号表示等量关系” 的工具，更适合复杂问题。

1. “定义要素” 对应（是什么）：

• 3x + 5 = 20：只含 1 个未知数 x，x 的次数是 1，等号两边都是整式→符合 “一元一次方程” 定义；
• 反例：x² + 3 = 10（未知数次数 2，是一元二次方程）；2/x + 1 = 5（2/x 是分式，不是整式，不是一元一次方程）。

1. 应用：解决实际问题（怎么用）：

• 行程问题：甲、乙相距 120km，甲每小时行 30km，乙每小时行 20km，两人同时相向而行，几小时相遇？
• 列方程：设 x 小时相遇，30x + 20x = 120 → x=2.4。

例 2：概念 —— 一次函数的 “斜率”（八年级）

• 死记定义：一次函数 y=kx+b（k≠0）中，k 叫做斜率，表示函数图像（直线）的倾斜程度。
• 用实例拆解：

1. “斜率的直观意义”（是什么）：

• 实例：用 “爬坡” 类比 ——
• k=2：相当于 “每走 1 米水平距离，上升 2 米”（陡坡）；
• k=0.5：相当于 “每走 1 米水平距离，上升 0.5 米”（缓坡）；
• k=-1：相当于 “每走 1 米水平距离，下降 1 米”（下坡）。
• 图形对应：画 y=2x、y=0.5x、y=-x 的图像，直观看到 k 越大，直线越陡；k 为负，直线向下倾斜。

1. “斜率的实际含义”（怎么用）：

• 实例：某水管放水，y（总水量，升）与 x（时间，分钟）的关系是 y=3x。这里 k=3 表示 “每分钟放水 3 升”（斜率对应 “单位时间的水量变化率”）。
• 问题：10 分钟能放多少水？→ 代入 x=10，y=30 升。

（三）高中数学：用 “具体情境” 对接抽象模型

高中数学概念更抽象（如函数性质、立体几何、概率），实例需 “从具体问题提炼模型”，再用模型反推概念本质。

例 1：概念 —— 函数的 “单调性”（高一）

• 死记定义：设函数 f (x) 的定义域为 I，对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量 x₁、x₂：若 x₁f (x₂)，则是减函数。
• 用实例拆解：

1. “直观实例” 理解（是什么）：

• 实例 1（生活场景）：气温随时间变化 —— 早晨 6 点到 12 点，时间 x 增大，气温 f (x) 升高→这段时间内 “气温函数” 是增函数；12 点到 18 点，时间 x 增大，气温 f (x) 降低→这段时间内是减函数。
• 实例 2（函数图像）：画 f (x)=x² 的图像，观察到 x<0 时，图像从左到右下降（减函数）；x>0 时，图像从左到右上升（增函数）→ 理解 “单调性是区间内的性质，而非整个定义域”。

1. “反例辨析” 深化（为什么）：

• 反例：f (x)=1/x（反比例函数），在 (-∞,0) 上是减函数，在 (0,+∞) 上也是减函数，但不能说在整个定义域上是减函数（因为取 x₁=-1，x₂=1，x₁

1. “应用：比较大小”（怎么用）：

• 问题：已知 f (x) 在 R 上是增函数，比较 f (3) 和 f (5) 的大小→ 因为 3<5，所以 f (3)

例 2：概念 —— 古典概型（高二）

• 死记定义：具有 “有限性”（基本事件个数有限）和 “等可能性”（每个基本事件发生的概率相等）的概率模型。
• 用实例拆解：

1. “满足条件的实例”（是什么）：

• 实例：掷一枚均匀的骰子，求掷出 “点数为 3” 的概率。
• 分析：基本事件有 6 个（1,2,3,4,5,6）→ 有限性；每个点数出现的概率都是 1/6→ 等可能性→ 符合古典概型。
• 计算：P (点数为 3)=1/6。

1. “不满足条件的实例”（为什么）：

• 反例 1（非等可能）：掷一枚不均匀的骰子（重心偏移），每个点数出现的概率不同→ 不是古典概型；
• 反例 2（非有限）：在区间 [0,1] 内随机取一个数，基本事件有无限个→ 不是古典概型。

1. “应用：摸球问题”（怎么用）：

• 问题：袋中有 2 个红球、3 个白球，从中随机摸 1 个，求摸到红球的概率→ 基本事件共 5 个，红球占 2 个→ P=2/5。

三、通用技巧：自己 “造实例” 的 3 个步骤

除了借鉴现成实例，更重要的是学会自己设计实例，这是 “深度理解” 的标志。具体步骤如下：

步骤 1：“拆解概念”—— 列出定义中的 “关键词”

比如学习 “平行四边形”，关键词是：两组对边分别平行、四边形。

步骤 2：“匹配场景”—— 找符合关键词的 “具体对象”

• 生活场景：教室的黑板、小区的伸缩门、书本的封面；
• 数学场景：坐标系中 y=0、y=2、x=0、x=3 围成的图形（两组对边分别平行于坐标轴）。

步骤 3：“正反验证”—— 用实例 “符合” 或 “反驳” 概念

• 正例：黑板符合 “两组对边平行 + 四边形”→ 是平行四边形；
• 反例：梯形只有一组对边平行→ 不是平行四边形；三角形不是四边形→ 也不是。

四、注意事项：避免实例使用的 2 个误区

1. 不要用 “特殊实例” 代替 “一般概念”：
2. 比如学习 “等差数列”，不能只举 “1,2,3,4…”（公差 1），还要举 “5,3,1,-1…”（公差 - 2）、“2,2,2,2…”（公差 0），避免误以为 “等差数列一定是递增的”。
3. 不要 “脱离概念” 找实例：
4. 实例的核心是 “解释概念”，而非 “凑例子”。比如用 “买东西” 解释 “负数” 时，要紧扣 “相反意义的量”（如 “支出 5 元” 记为 - 5，“收入 3 元” 记为 + 3），而不是泛泛说 “负数就是比 0 小的数”。

总结

用实际例子学数学概念，本质是 **“从具体到抽象，再从抽象到具体” 的循环 **：先通过生活 / 数学场景理解概念的 “本质和用途”，再用概念指导解决新的具体问题。长期坚持这种方式，你会发现数学不再是 “冰冷的符号”，而是能解决实际问题的 “工具”—— 这正是数学思维的核心。

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