# 高一月考函数综合题难？3类常考题型+题型归类法，真题拆解新高考思维 “孩子说函数单个知识点会，但一结合就懵，综合题根本无从下手”——不少家长反映，高一第二次月考的“函数综合题”是丢分重灾区。其实这类题看似难，实则都是“单调性+奇偶性”“函数性质+不等式”的组合，只要按题型归类，掌握解题套路，就能轻松突破。今天就拆解3类常考综合题型，教孩子用“题型归类法”举一反三，再用真题解析新高考的解题思维。

一、先搞懂：综合题考什么？核心是 “性质结合”

高一第二次月考的函数综合题，本质是 “基础性质的灵活应用”，主要围绕 3 个方向出题：

1. 单调性 + 奇偶性：用奇偶性转化变量，用单调性解不等式 / 求最值；
2. 抽象函数 + 性质判断：没给具体解析式，通过 f (x+y)、f (xy) 等关系式，判断奇偶性、单调性；
3. 函数性质 + 实际应用：比如用单调性求成本最低、利润最高，新高考特别爱考这类情境题。

   这三类题占综合题的 90% 以上，只要一类一类突破，就能拿下。

做综合题前，先把这些性质记牢，相当于拿到了 “解题钥匙”：

1. 奇偶性的运算性质：奇函数+ 奇函数 = 奇函数，偶函数 + 偶函数 = 偶函数；奇函数 × 奇函数 = 偶函数，偶函数 × 偶函数 = 偶函数，奇函数 × 偶函数 = 奇函数；

   比如 “f (x) 是奇函数，g (x) 是偶函数，判断 h (x)=f (x)×g (x) 的奇偶性”，直接用性质得 h (x) 是奇函数，不用再算 f (-x) g (-x)。

2. 单调性与不等式的关系：增函数：若 x₁减函数：若 x₁f (x₂)；反过来，若 f (x₁)>f (x₂)，则 x₁关键是 “单调性可逆”，这是解不等式的核心。

3. 抽象函数的赋值技巧：

   判断抽象函数性质时，常用 “赋值法”：令 x=0、y=0，或 x=-y，比如 “已知 f (x+y)=f (x)+f (y)，判断奇偶性”，令 x=y=0 得 f (0)=0，再令 y=-x 得 f (0)=f (x)+f (-x)，所以 f (-x)=-f (x)，是奇函数。

4. 单调性与最值的关系：

   闭区间上的单调函数，最值在端点处取：增函数最大值在右端点，最小值在左端点；减函数相反。比如 “f (x) 是 [1,5] 上的减函数，求最值”，最大值 f (1)，最小值 f (5)。

教孩子把综合题按 “题型” 分类，每类总结固定解题步骤，做题时直接套，不用再想 “从哪入手”：

题型 1：单调性 + 奇偶性解不等式（考频最高）

解题步骤：

1. 用奇偶性转化不等式（把 f (-x) 转化为 - f (x) 或 f (x)）；
2. 把不等式整理成 “f (A)f (B)” 的形式；
3. 用单调性去掉 f（注意：单调性决定不等号方向是否变）；
4. 结合函数定义域，解不等式组。

例子：已知 f (x) 是 R 上的奇函数，且在 [0,+∞) 上是增函数，解不等式 f (x-1)+f (2x)<0。

步骤：①f (x-1)<-f (2x)=f (-2x)（奇函数性质）；②f (x) 在 R 上增（奇函数 +[0,+∞) 增→R 增）；③x-1<-2x；④定义域R，所以 x<1/3。

题型 2：抽象函数性质判断（难点，新高考常考）

解题步骤：

1. 判断奇偶性：赋值 x=0、y=0 求 f (0)，再令 y=-x，看 f (-x) 与 f (x) 关系；
2. 判断单调性：任取 x₁
3. 下结论，若有求值题，再用性质计算。

例子：已知 f (x) 的定义域是 (0,+∞)，对任意 x,y>0，有 f (x/y)=f (x)-f (y)，且 f (2)=1，判断 f (x) 的单调性并求 f (8)。

步骤：①判断单调性：任取 x₁>x₂>0，f (x₁)-f (x₂)=f (x₁/x₂)，x₁/x₂>1，若已知 “x>1 时 f (x)>0”，则 f (x₁)-f (x₂)>0，f (x) 增；②求 f (8)：f (8)=f (4×2)=f (4)+f (2)？不对，用 f (x/y)=f (x)-f (y)，令 x=8,y=4，f (8/4)=f (8)-f (4)→f (2)=f (8)-f (4)；令 x=4,y=2，f (2)=f (4)-f (2)→f (4)=2f (2)=2；所以 f (8)=f (4)+f (2)=3。

题型 3：函数性质 + 实际应用（新高考情境题）

解题步骤：

1. 审题：找自变量（比如 “销量 x”）、因变量（比如 “利润 y”），确定函数模型（一次 / 二次 / 指数）；
2. 列函数解析式：根据题意列关系式，注意定义域（比如销量 x≥0，且为整数）；
3. 用函数性质解题：比如用二次函数顶点求最值，用单调性求范围；
4. 验证：看结果是否符合实际意义（比如利润不能为负，销量不能为小数）。

例子：某商店卖文具，每件进价 2 元，售价 x 元（3≤x≤5），每天销量为 100-10 (x-3) 件，求每天利润 y 的最大值。

步骤：①利润 y=(x-2)[100-10 (x-3)]=(x-2)(130-10x)=-10x²+150x-260；②定义域 3≤x≤5；③二次函数开口向下，对称轴 x=7.5，在 [3,5] 上增；④最大值在 x=5 时，y=(5-2)(130-50)=3×80=240 元。

四、真题解析：2024 年浙江某名校月考第 21 题（解答题，12 分）

题目：已知函数 f (x) 的定义域是 R，对任意 x,y∈R，有 f (x+y)=f (x)+f (y)-1，且当 x>0 时，f (x)>1。

(1) 证明：f (x) 是 R 上的增函数；

(2) 若 f (4)=5，解不等式 f (3m²-m-2)<3。

解析步骤（新高考思维：逻辑严谨，步骤清晰） (1) 证明 f (x) 是增函数（按抽象函数单调性步骤）

1. 任取变量：任取 x₁,x₂∈R，且 x₁0；
2. 用已知关系式变形：f(x₂)=f[(x₂-x₁)+x₁]=f(x₂-x₁)+f(x₁)-1；
3. 判断差值符号：因为 x₂-x₁>0，所以 f (x₂-x₁)>1（已知条件），则 f (x₂)-f (x₁)=f (x₂-x₁)-1>0，即 f (x₂)>f (x₁)；
4. 下结论：所以 f (x) 是 R 上的增函数。（5 分）

1. 求 f (2) 的值：已知 f (4)=f (2+2)=f (2)+f (2)-1=2f (2)-1=5，解得 2f (2)=6→f (2)=3；
2. 转化不等式：f(3m²-m-2)<3=f(2)；
3. 用单调性去掉 f：因为 f (x) 是 R 上的增函数，所以 3m²-m-2<2；
4. 解二次不等式：3m²-m-4<0→(3m-4)(m+1)<0；
5. 求解集：解得 - 1

答案：(1) 证明见解析；(2) 解集为 (-1, 4/3)。

给孩子的备考建议

函数综合题不是 “难题”，而是 “知识点的组合题”。接下来备考时，按这 3 类题型整理错题，每道错题标上 “题型类别” 和 “解题步骤”，比如 “2024 浙江月考 21 题：抽象函数 + 单调性 + 不等式”，下次遇到同类题，就对照步骤来，慢慢就会形成 “看到题就知道怎么做” 的思维。新高考重视 “逻辑和应用”，所以解题时要写清步骤，比如证明单调性时 “任取→变形→判断→结论”，一步都不能少，既避免丢分，也能培养解题思维。