2025年学生将迎来新版教材，新教材将更加重视思维和阅读！为了方便广大学生在暑假预习新学期的课本知识，我们整理了2025新人教版九年级数学（上册）一电子课本，以图片的形式呈现给大家，希望对同学们的暑期学习有所帮助。

如需PDF高清下载版本

请关注微信公众号“紫菀空青”发送“电子教材”获取

九年级数学上册期末提升方法

提升核心：抓牢核心板块、突破解题难点、规范答题步骤，重点攻克一元二次方程、旋转、圆、概率初步四大核心内容，兼顾基础题满分率、中档题熟练度、压轴题得分率，实现期末数学成绩的稳步提升。

一、 分板块核心突破（按教材重点排序）

（一） 一元二次方程（代数核心，占分约 25%）

1. 核心考点

• 解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法（十字相乘法）。
• 根的判别式：\(\Delta = b^2-4ac\)，判断根的情况（\(\Delta>0\) 两不等实根；\(\Delta=0\) 两相等实根；\(\Delta<0\) 无实根）。
• 根与系数的关系（韦达定理）：若 \(x_1,x_2\) 是 \(ax^2+bx+c=0(a≠0)\) 的两根，则 \(x_1+x_2=-\frac{b}{a}\)，\(x_1x_2=\frac{c}{a}\)。
• 实际应用：增长率问题、利润问题、面积问题。

2. 提升技巧

• 解法选择技巧
• 缺一次项（\(b=0\)）→ 直接开平方法，如 \(x^2=4\)；
• 能因式分解（十字相乘）→ 优先因式分解法，如 \(x^2-3x+2=0\) 分解为 \((x-1)(x-2)=0\)；
• 不易分解 → 公式法（万能方法），牢记求根公式 \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)；
• 配方法重点掌握：用于求最值、推导公式，步骤为 “移项→二次项系数化为 1→配方→开方”。
• 根的判别式与韦达定理综合应用
• 涉及 “两实根的和、积” 或 “根的存在性”，先看 二次项系数≠0，再用判别式和韦达定理。
• 易错点：忽略 \(a≠0\) 的前提；使用韦达定理前未验证 \(\Delta\ge0\)。
• 实际应用题解题模板
• 步骤：设未知数 → 列一元二次方程 → 解方程 → 检验（舍去不合题意的根）→ 作答。
• 增长率公式：\(a(1\pm x)^n=b\)（a 为初始量，x 为增长率 / 降低率，n 为次数，b 为最终量）；
• 利润公式：总利润 = 单件利润 × 销售量。

（二） 旋转（几何基础，占分约 20%）

1. 核心考点

• 旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后图形全等。
• 中心对称与中心对称图形：中心对称的性质（对应点连线经过对称中心，且被对称中心平分）；识别中心对称图形。
• 坐标系中的旋转：重点掌握点 \((x,y)\) 绕原点旋转 \(90^\circ\)、\(180^\circ\) 的坐标变化规律：
• 旋转 \(90^\circ\)（逆时针）：\((x,y)\to(-y,x)\)；顺时针：\((x,y)\to(y,-x)\)；
• 旋转 \(180^\circ\)：\((x,y)\to(-x,-y)\)。

2. 提升技巧

1. 旋转问题的解题关键：找旋转中心、旋转角、对应点，利用 “旋转前后全等” 转化线段和角的关系。
2. 辅助线添加思路：遇到 “等边三角形、等腰直角三角形” 等特殊图形，常构造旋转模型，将分散的线段 / 角集中到一个三角形中。
3. 中心对称与轴对称的区分：列表对比，避免混淆

（三） 圆（几何难点，占分约 30%）

1. 核心考点

• 圆的基本性质：垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理（同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角）。
• 点、直线、圆与圆的位置关系：点与圆的位置判定（d 与 r 的大小）；直线与圆相切的判定与性质（切线垂直于过切点的半径；切线长定理）；圆与圆的位置关系（外离、外切、相交、内切、内含）。
• 圆的计算：弧长公式 \(l=\frac{n\pi r}{180}\)；扇形面积公式 \(S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)；圆锥的侧面积 \(S_{侧}=\pi rl\)（l 为母线长，r 为底面半径）。

2. 提升技巧

• 垂径定理的应用技巧：遇弦作 “弦心距”，构造直角三角形，利用勾股定理计算弦长、半径、弦心距。
• 公式：\(r^2=d^2+(\frac{l}{2})^2\)（r 为半径，d 为弦心距，l 为弦长）。
• 切线的证明方法
• 有切点：连接圆心与切点，证明 半径⊥直线；
• 无切点：作垂线，证明 垂线段长度 = 半径。
• 圆的计算易错点：圆锥侧面积计算时，混淆 “母线长 l” 和 “底面半径 r”；弧长和扇形面积公式中，n 是圆心角的度数，不是弧度。

（四） 概率初步（基础送分，占分约 10%）

1. 核心考点

• 随机事件的概率：古典概型（\(P(A)=\frac{事件A包含的基本事件数}{所有可能的基本事件总数}\)）；用列举法（列表、树状图）求概率。
• 用频率估计概率：大量重复试验时，频率稳定在概率附近。

2. 提升技巧

• 列举法的选择：
• 两步试验（如两次摸球）→ 列表法；
• 三步及以上试验（如三次抽卡）→ 树状图法，确保不重不漏。
• 易错点：“放回” 与 “不放回” 的区别，如摸球试验中，放回的话每次总数量不变，不放回则总数量减少 1。

二、 通用提分策略

1. 错题本高效利用

• 分类整理：按 “一元二次方程、旋转、圆、概率” 分类，每道错题标注 错误原因（公式记错、审题失误、辅助线不会加、步骤不规范）。
• 错题重做：每周重做 1 次错题，同类题找 1-2 道变式题训练，重点攻克 “圆的切线证明”“一元二次方程应用题” 等高频错题。

2. 压轴题解题思路（几何与代数综合）

九年级上册期末压轴题多为 “圆 + 旋转 + 一元二次方程” 的综合题，解题步骤：

1. 分解图形：将复杂图形拆分为 “圆、等腰三角形、直角三角形” 等基本图形；
2. 转化条件：利用旋转的全等性、圆的性质，将未知线段转化为已知线段；
3. 建立方程：设未知数，利用勾股定理、相似三角形、韦达定理建立方程求解；
4. 检验答案：舍去不合题意的根（如线段长度为负）。

3. 规范答题，避免 “会做失分”

• 几何题：
• 辅助线用虚线画，标注清楚（如 “连接 OA”“作 OD⊥AB 于 D”）；
• 证明过程 “∵∴” 对应，每一步都要有依据（如 “∵AB 是直径 ∴∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角）”）。
• 代数题：
• 解一元二次方程时，步骤完整（如公式法要写 “∵a=1,b=-3,c=2 ∴Δ=9-8=1>0 ∴x=\frac {3\pm1}{2}”）；
• 应用题必须写 “检验” 和 “答”，检验要结合实际意义。

三、 期末冲刺计划（7 天强化版）

四、 考试答题关键提醒

1. 时间分配：选择题（20 分钟）、填空题（15 分钟）、基础解答题（30 分钟）、压轴题（25 分钟），最后 10 分钟检查（重点查：一元二次方程的判别式、圆的切线证明步骤、圆锥侧面积的公式）。
2. 先易后难：遇到不会的题先跳过，不要死磕，确保基础题和中档题拿满分。
3. 审题细节：圈画关键词，如 “切线”“旋转 90° 逆时针”“不放回”“增长率”，避免因审题失误做错。
4. 步骤得分：压轴题即使不会做完整，也要写能推导的步骤，如 “连接 OC，∵OC=OA ∴△OAC 是等腰三角形”，争取步骤分。