一．（每小题七分，共35分）：

1.已知直线l1的参数方程是 x=2 /5t-1

y= /5t+1

直线l2的极坐标是 sin（ - /4）=2求l1，l2的锐角 的度数。

解：由l1的方程得：x+1/y-1=2,

化简得：x-2y+3=0 ，所以k1=1/2

由L2的方程得： /2y- /2x=2

化简得：x-y+2 =0， k2=1

所以，tan = 1-1/2/1+1/2 =1/3

=arctan1/3

2.解方程 2x2-3xy+x+y-1=0

xy-3y2+2x+2y-2=0

解:1x2-②得：

4x2-7xy+3y2=0

(4x-3y)(x-y)=0

原方程可分为以下两组：

2x2-3xy+x+y-1=0 及 2x2-3xy+x+y-1=0

4x-3y=0 x-y=0

分别解之,一组无解。

另一解为 x=1 所以，原方程组的解为 x=1

y=1 y=1

1. 已知a ， 1，解不等式：loga2（2x-3）﹤loga2（1-x/2）

解：当-1 a 1时，0 a2 1

则 2x-3 0 1-x/2 0

2x-3 1-x/2

解之得：8/5

当a 1，或a -1时，a2 1

2x-3 0

则 1-x/2 0

2x-3 1-x/2

解之得：3/2

原不等成的解是8/5

2. 已知f（x-1）=（x2-2x）2+3（x2-2x）+2，试将f（x）在复数范围内分解因式之积。

解：f(x-1)=(x2-2x+1)(x2-2x+2)

=(x-1)2[(x-1)2+1]

所以f(x)=x2(x+)=x2(x+i)(x-i)

3. 已知sinα是sin 、cos 等差中项；sinβ是sin 、cos 的等比中项，求cos4β-4cos4α的值

解:由巴知：sin +cos =2sina

Sin cos =sin2β

消 得：4sin2x=1+2sin2β

所以2-4sin2a=1- sin2β

2cos2a=cos2β

所以4cos22a-2=cos22β-2

所以 2cos4a=cos4β+1/2-2

所以4cos4a=cos4β-3

即cos4β-4cos4a=3

二．1.非实数x，yz适合x-1/4=y-2/3=z+3/2

求x2+y2-z2的最小值

(题10分，共20分)

解:设x-1/4= y-2/3=z+3/2=K

x=4k+1 0

则 y=3k+2 0

z=2k-3 0

显然：K 3/2

所以：x2+y2+z2=(4k+1)2+(3K+2)2+(2x-3)2

=21K2+32k-4

=21（k+16/21）2-16.16/21

但k -16/21

所以K=3/2时，最小值为91.1/4

2.若 /2，

求：sin cos +sin3 +sin5 cos …+sin（2n-1） cos 的值

解:设原式的值为Sn

即Sn=sin cos (1+sin2 +……+sin（2n-2） )

当sin2 1时,

Sn=sin .cos （sin（2n-2）-1）/ sin2 -1=tan （1—sim2n ) (

当sin2 =1时，由于Cos =0

所以Sn=0

三．自圆○外一点P做圆00的两条切线，切点是A,B,AB与PO交于C，做半径OM∥PA,连PM,CM,求证∠APM=∠MCO

证明：连AO,

因为PO⊥AB，AO⊥PA

所以AC是Rt△PAO斜边上的高

所以OA2=OC.0P=0M2

在△OCM与△OMP中，

∠C0M=∠POM ，

OC/OM=OM/OP，

所以，△OCM △OMP

所以，∠MCO=∠PMO

但∠PMO=∠APM (PA OM,它们是内错角)

所以∠APM=∠MCO

四．在△ABC中，C的平分线交AB于D,且BD/BC=1/m，

求证：（1）tanA/2=m-1/m+1cotB/2

（1） a+b=mc

证明(1)在△BCD中，∠CDB=A+C/2

所以，BD/BC=sinC/2/sin（A+C/2）=1/m

1-m/1+m= sin（A+C/2）-sinC/2/ sin（A+C/2）+sinC/2

=2cos（A/2+C/2）sinA/2/2sin（A/2+C/2）cos A/2/=cot（A/2+C/2）tanA/2=tanA/2tanB/2

所以，tanA/2=m-1/m+1cotB/2

(2)由角分线定理得：

BD/BC=AD/AC=1/m

AD=AC/m=b/m

所以，BD+AD=a+b/m=c

所以，a+b=mc

五．已知二免交P-AB-Q,它的平面角是一个锐角 ，平面P上的一个圆在Q上的投影时一个离心率为1/2的椭圆，若平面P上有一个等腰△CDE，斜边DE在棱AB上直角顶C在平面Q上的投影时C1,求：（1） 的度数；（2）∠DC′E的度数。

解:椭园长轴为圆的直径2R.

短轴为2Rcos 中，

e=c/a= = =sin =1/2

= /6

过C作CH⊥DE于M

则DM=ME=MC(设它为a)

连C'M,由三垂线定理知C'M⊥DE

但C'M=Cmcos =acos /6= a/2

C'E=C'D= = a /2

所以，∠D C'E=7a2/4+7a2/4-a2/2 a /2 a /2=-1/7

所以，∠D C'E=arccos（-1/7）

六．自点A(-2，0)作斜率为m（m﹥0）的直线与抛物线y=x2+3相交于P1,P2两点

（1）求实数m的取值范围

（2）求P1P2中点的轨迹

（3）在线段P1P2上找一点Q使2/︱AQ︱=1/︱P1A︱+1/︱P2A︱

解：(1)设y=m(x+2)=mx+2m为过A的直线方程：

把它代入y=x2+3得：x2-mx+3-2m=0

它应有两个不同实根：

△=m2+8m-12>0

m>2 -4或m<-2 -4

但m>0

所以，m>2 -4

(2)设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)

P1，P2中点为p(x，y).则由韦达定理得:x1+x2=m

x1+x2/2=x=m

即m=2x

又因P在y=mx+2m上,所以y=2x2+4x(x> -2)

为所求之P点轨迹

即抛物线y=2x2+4x含于抛物线y=x2+3内的部分。 (3)|P1A|= + 2= |x1+2|

P2A|= |x2+2|，|AQ|= |x+2|

代入关系式：2/|AQ|=1/|P1A|+1/|P2A|

并消去 得1/|x1+2|+1/|x2+2|=1/|x+2|

但由m>0得x1+2>0.

x2+2>0，x+2>0

所以，2/ x+2=1/ x1+2+1/ x2+2=x1+x2+4/x1 x2+2（x1+x））+4

=m+4/3-2m+2m+4

=m+4/7

所以，m=14/x+2-4=6-4x/x+2

代入y=m(x+2)得：y=-4x+6

由m=6-4x/x+2>2 -4得：

-2

所以，Q点的轨迹方程是直线

y=-4x+6,其中-2