一．简单计算题：

1.已知f（ ）=x2-2x，求f（x）的解析式，并求f（x）的最小值

解：设t=ex（t 0），则x=Int

已知f（ ）=x2-2x= Int2-2 Int，将t换成x（x

所以f（x）= Inx2-2 Inx

令m= Inx，因为（x ，所以，m R,则

函数f（x）可转化为y=m2-2m，a=1 0，函数图像开口向上m=-b/2a=-(-2)/2×1=1，

根据二次函数的性质，当m=1时，y取得最小值，将m=1 代入y= m2-2m可得：ymin=-1，当m=1时，Inx=1，解得：x=e

f（x）的最小值为-1

2.若y=x2-2︱x︱-3，且︱x︱ 3，画出它的图像，并指出他的最小值和取得这个最小值时的x的值。

解：对y=x2-2︱x︱-3变形，y=（︱x︱-1）2-4

因为（︱x︱-1）2 ，当︱x︱=1时，即︱x︱=1时，y有最小值，ymin=-4

画图象：当x ，y=x2-2x-3=（x-1）2-4这是开口向上，对称轴为x=1的抛物线在x 0的部分；

当x 0时，y=x2+2x-3=（x+1）2-4这是开口向上，对称轴x=-1，抛物线在x 0部分，结合︱x︱ 3，即-3 x 绘制图象。

3.画出y=︱x+5︱+ -1的图象，并求出它与直线y=4所围成的梯形的面积。

解：化简函数并分析不同区间的表达式：

y=︱x+5︱+ -1

因为 =︱x+2︱，所以y=︱x+5︱+︱x+2︱-1

当x -5时，x+5 x+2 则y=-（x+5）-（x+2）-1=-2x-8

当-5 x ，y=x+5-x-2-1=2

当x 时，令y=x+5+x+2-1=2x+6

求y=4与函数y的交点：

（1）x -5时，则y=-2x-8，y=4，x=-6交点P1为：（-6，4）

(2)当x y= =2x+6，y=4，x=-1交点P2为：（-1，4）

梯形上底：-6-（-1）=5，下底：︱-4-（-3）︱=1

梯形面积为：1/2（上底+下底）×高=1/2（5+1）×4=12

绘制函数图象：

对于x -5，y=-2x-8，斜率为2，截距为-8，端点x=-5处空心，当x=-5时，y=2；

对于-5 x ，y=2是一条平行线，x=-5，y=-2处为实心点；

对于x y=2x+6，斜率为2，截距为6，端点为x=-2当x=-2，y=2

故y=︱x+5︱+ -1与y=4图象所围图形梯形面积为:12

4.已知y=x2+mx+n与y=x2+（m+3）x+n+3两图像的交点是（m/2，n/2）求它的顶点间的距离。

解：设x=m/，y=n/2，代入方程y=x2+mx+n得：n=-3m2/2，1

代入方程y=x2+（m+3）x+n+3得：3m2+6m+2n+12=0 2

解方程1、2得：m=-2，n=-6代入方程y=x2+mx+n,得：

y=x2-2x-6=（x-1）2-7，顶点为（1，-7）

m=-2，n=-6代入方程y=x2+（m+3）x+n+3得：

y=（x+1/2）2-13/4，顶点为：（-1/2，-13/4）

d= = /4

5.求抛物线y=x2+ax+b的焦点的坐标，若y=x2+ax+b的顶点坐标在直线x-y-4=0上移动，且保持对称轴方向不变，求它的焦点移动的轨迹。

解：抛物线的一般方程为：

y=x2+ax+b

配方后：y=（x+a/2）2+（b2-a2/4)

因此，顶点坐标为：（-a/2，b-a2/4）

标准抛物线y=x2的焦点（0，1/4），对于一般形式y=Ax2+Bx+C，其焦点可以通过平移和所放得到。

对于y=x2+ax+b，可以看作：y=（x+a/2）2+（b2-a2/4)即：顶点在(-a/2，b-a2/4）

由于y=x2的焦点是（0，1/4）平移后焦点为：（-a/2，b-a2/4+1/4）

顶点在直线x-y-4=0上移动，y=x-4

顶点坐标为（x，x-4）

对称轴方向不变：

抛物线仍然是y=x2+ax+b的形式，即开口向上，对称轴为：x=-a/2

顶点的关系：由于顶点在（x，x-4）

而抛物线的顶点为（-a/2，b-a2/4）

x=-a/2，a=-2x，

b-a2/4=x-4，b=x-4+a2/4=x-4+x2

由焦点坐标（-a/2，b-a2/4+1/4）

代入a=-2x，b=x-4+x2得：

（x，x-4+1/4）=（x，x-15/4）

设焦点坐标为（x,y）

y=x-15/4，是所求的轨迹。

6.若函数y=f（x）对定义域的任两值x1 x2，恒有f（x1+x2/2） +1/2f（x2）则说y=f（x）是上凸函数。

解：设x1，x2是定义域内的任意两个值，logx1+x2/2和1/2（logx1+logx2）的关系，根据对数运算法则：

1/2（logx1+logx2）=logx1x2/2=log ，

x1+x2/2 ，（当x1=x2时等号成立）

对数函数y=logx（a ）是单调递增函数，所以当x1 x2

时，logx1+x2/2 log =1/2（logx1+logx2）说明对数函数y=logx（a 1）在其定义域（0，+ ）内是上凸函数。

二．求极值问题：

1.已知：2x+y=16，求log2x+log2y的最大值

解：将y=6-2x代入原式=log2x（16-2x）=log2[-2（x2-8x+16）+32]=log2[-2（x-4）2+32]，当x=-4时，原式最大值为5

2.已知︱x-y︱=2，求x2+y2的最小值

解：设P点为（x，y），︱x-y︱=2可变形为：（x-y）2=4，它可以表示为直线：z-y-2=0和x-y+2=0，

x2+y2可以表示点P（x0，y0）到直线Ax+By+C=0的距离：

d=︱Ax+By+C︱/ =

x2+y2的最小值为d2=2

3.若复数z适合︱z- - i︱ 1求z的最大值和最小值

解：将原式变形为（x- 2+（y- ）2=1的圆，圆心为（ ），半径为1，d= =2

最大值为2+1=3，最小值为2-1=1

三．证明题：

1. 已知cosa=cos cos ，求证：tga+ /2tga- /2=tg2 /2

证明：左边=sina+ /2sin a- /2/cosa+ /2cosa- /2

=cos -cosa/cosa+cos ，又cosa=cos cos

cos -cos cos /cos cos +cos =1-cos /1+cos =tan2 /2=右边

2. 在三角形ABC中，若a+c=3b,证明：tgA/2tgC/2=1/2

证明：因为a+c=3b，由正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

a+c=3b

2RsinA+2RsinC=6RsinB, sinA+sinC=3sinB

A+B+C= ,2sinA+C/2cosA-C/2=3sin( -(A+C))

2sinA+C/2cosA-C/2=6sin A+C/2cos A+C/2

cosA-C/2=3cos A+C/2

cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=3(cosA/2cosC/2-sinA/sinC/2

2sinA/2sinC/2=cosA/2cosC/2

tanA/2tanC/2=1/2

四．已知C1为三角形ABC的AB边上的一点，作BB1∥C1C,交AC延长线于B1，作AA1∥C1C交BC延长线于A1,求证：1/AA1+1/BB1=1/CC1

证明：因为BB1∥C1C，AA1∥C1C，根据平行于同一条直线的两条直线互相平行

由于BB1∥C1C，AA1∥C1C，所以ΔCBB ΔA1AC1,所以

AA1/ BB1=AC/CB1= A1C/BC 1

又AA1∥C1C，所以ΔAA1B ΔBCC1

CC1/AA1=BC1/BA =BC/CA1 2

同理，ΔABB ΔACC1

又CC1/BB1=AC1/AB 3

CC1/AA1+ CC1/BB1= BC1/BA+ AC1/AB=1

所以， 1/AA1+1/BB1=1/CC1

五．若f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8

f（x+1）-f（x-1）=4（x-2）

且f（x-1），-1/2，f（x）是一个递增的等差数列的前三项，求这个数列的通项an的公式和前n项和Sn公式

解：f（x+1）+f（x-1）=2x2-8x+8 1

f（x+1）-f（x-1）=4（x-2） 2

1+2得：f（x+1）=x2-2x

1-2得：f（x-1）=x2-6x+8

对f（x-1）换元，令t=x-1,xt+1

f（t）=（t+1）2-6（t+1）+8=t2-4t+3

f（x）= x2-4x+3

又f（x-1），-1/2，f（x）为递增的等差数列，

2（-1/2）=-1= f（x-1）+ f（x）=2x2-10x+11

2x2-10x+12=0（x-3）（x-2）=0

x=3或x=2

当x=2时，f（x-1）=f（1）=1-4+3=0

f（x）= f（2）=4-8+3=-1，等差数列为：0，-1/2，-1

d=-1/2-0=-1/2 0为递减数列，不合题意，舍去。

当x=3时，f（x-1）=f（2）=4-8+3=-1

f（x）= f（3）=9-12+3=0，等差数列为：-1，-1/2，0

d=-1/2+1=1/2 0为递增数列，符合题意。

等差数列a1=-1，d=1/2，an=a1+（n-1）d=-1+n-1/2=n-3/2

Sn= n（a1+an）/2=n（-1+n-3/2）/2=n(n-5)/4