高考数学模拟练习题(八)(综合练习)(时间120分钟)
开心田螺
2025-07-18 16:34:18
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一.简单计算题:

1.已知f( )=x2-2x,求f(x)的解析式,并求f(x)的最小值

解:设t=ex(t 0),则x=Int

已知f( )=x2-2x= Int2-2 Int,将t换成x(x

所以f(x)= Inx2-2 Inx

令m= Inx,因为(x ,所以,m R,则

函数f(x)可转化为y=m2-2m,a=1 0,函数图像开口向上m=-b/2a=-(-2)/2×1=1,

根据二次函数的性质,当m=1时,y取得最小值,将m=1 代入y= m2-2m可得:ymin=-1,当m=1时,Inx=1,解得:x=e

f(x)的最小值为-1

2.若y=x2-2︱x︱-3,且︱x︱ 3,画出它的图像,并指出他的最小值和取得这个最小值时的x的值。

解:对y=x2-2︱x︱-3变形,y=(︱x︱-1)2-4

因为(︱x︱-1)2 ,当︱x︱=1时,即︱x︱=1时,y有最小值,ymin=-4

画图象:当x ,y=x2-2x-3=(x-1)2-4这是开口向上,对称轴为x=1的抛物线在x 0的部分;

当x 0时,y=x2+2x-3=(x+1)2-4这是开口向上,对称轴x=-1,抛物线在x 0部分,结合︱x︱ 3,即-3 x 绘制图象。

3.画出y=︱x+5︱+ -1的图象,并求出它与直线y=4所围成的梯形的面积。

解:化简函数并分析不同区间的表达式:

y=︱x+5︱+ -1

因为 =︱x+2︱,所以y=︱x+5︱+︱x+2︱-1

当x -5时,x+5 x+2 则y=-(x+5)-(x+2)-1=-2x-8

当-5 x ,y=x+5-x-2-1=2

当x 时,令y=x+5+x+2-1=2x+6

求y=4与函数y的交点:

(1)x -5时,则y=-2x-8,y=4,x=-6交点P1为:(-6,4)

(2)当x y= =2x+6,y=4,x=-1交点P2为:(-1,4)

梯形上底:-6-(-1)=5,下底:︱-4-(-3)︱=1

梯形面积为:1/2(上底+下底)×高=1/2(5+1)×4=12

绘制函数图象:

对于x -5,y=-2x-8,斜率为2,截距为-8,端点x=-5处空心,当x=-5时,y=2;

对于-5 x ,y=2是一条平行线,x=-5,y=-2处为实心点;

对于x y=2x+6,斜率为2,截距为6,端点为x=-2当x=-2,y=2

故y=︱x+5︱+ -1与y=4图象所围图形梯形面积为:12

4.已知y=x2+mx+n与y=x2+(m+3)x+n+3两图像的交点是(m/2,n/2)求它的顶点间的距离。

解:设x=m/,y=n/2,代入方程y=x2+mx+n得:n=-3m2/2,1

代入方程y=x2+(m+3)x+n+3得:3m2+6m+2n+12=0 2

解方程1、2得:m=-2,n=-6代入方程y=x2+mx+n,得:

y=x2-2x-6=(x-1)2-7,顶点为(1,-7)

m=-2,n=-6代入方程y=x2+(m+3)x+n+3得:

y=(x+1/2)2-13/4,顶点为:(-1/2,-13/4)

d= = /4

5.求抛物线y=x2+ax+b的焦点的坐标,若y=x2+ax+b的顶点坐标在直线x-y-4=0上移动,且保持对称轴方向不变,求它的焦点移动的轨迹。

解:抛物线的一般方程为:

y=x2+ax+b

配方后:y=(x+a/2)2+(b2-a2/4)

因此,顶点坐标为:(-a/2,b-a2/4)

标准抛物线y=x2的焦点(0,1/4),对于一般形式y=Ax2+Bx+C,其焦点可以通过平移和所放得到。

对于y=x2+ax+b,可以看作:y=(x+a/2)2+(b2-a2/4)即:顶点在(-a/2,b-a2/4)

由于y=x2的焦点是(0,1/4)平移后焦点为:(-a/2,b-a2/4+1/4)

顶点在直线x-y-4=0上移动,y=x-4

顶点坐标为(x,x-4)

对称轴方向不变:

抛物线仍然是y=x2+ax+b的形式,即开口向上,对称轴为:x=-a/2

顶点的关系:由于顶点在(x,x-4)

而抛物线的顶点为(-a/2,b-a2/4)

x=-a/2,a=-2x,

b-a2/4=x-4,b=x-4+a2/4=x-4+x2

由焦点坐标(-a/2,b-a2/4+1/4)

代入a=-2x,b=x-4+x2得:

(x,x-4+1/4)=(x,x-15/4)

设焦点坐标为(x,y)

y=x-15/4,是所求的轨迹。

6.若函数y=f(x)对定义域的任两值x1 x2,恒有f(x1+x2/2) +1/2f(x2)则说y=f(x)是上凸函数。

解:设x1,x2是定义域内的任意两个值,logx1+x2/2和1/2(logx1+logx2)的关系,根据对数运算法则:

1/2(logx1+logx2)=logx1x2/2=log ,

x1+x2/2 ,(当x1=x2时等号成立)

对数函数y=logx(a )是单调递增函数,所以当x1 x2

时,logx1+x2/2 log =1/2(logx1+logx2)说明对数函数y=logx(a 1)在其定义域(0,+ )内是上凸函数。

二.求极值问题:

1.已知:2x+y=16,求log2x+log2y的最大值

解:将y=6-2x代入原式=log2x(16-2x)=log2[-2(x2-8x+16)+32]=log2[-2(x-4)2+32],当x=-4时,原式最大值为5

2.已知︱x-y︱=2,求x2+y2的最小值

解:设P点为(x,y),︱x-y︱=2可变形为:(x-y)2=4,它可以表示为直线:z-y-2=0和x-y+2=0,

x2+y2可以表示点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离:

d=︱Ax+By+C︱/ =

x2+y2的最小值为d2=2

3.若复数z适合︱z- - i︱ 1求z的最大值和最小值

解:将原式变形为(x- 2+(y- )2=1的圆,圆心为( ),半径为1,d= =2

最大值为2+1=3,最小值为2-1=1

三.证明题:

1. 已知cosa=cos cos ,求证:tga+ /2tga- /2=tg2 /2

证明:左边=sina+ /2sin a- /2/cosa+ /2cosa- /2

=cos -cosa/cosa+cos ,又cosa=cos cos

cos -cos cos /cos cos +cos =1-cos /1+cos =tan2 /2=右边

2. 在三角形ABC中,若a+c=3b,证明:tgA/2tgC/2=1/2

证明:因为a+c=3b,由正弦定理:a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

a+c=3b

2RsinA+2RsinC=6RsinB, sinA+sinC=3sinB

A+B+C= ,2sinA+C/2cosA-C/2=3sin( -(A+C))

2sinA+C/2cosA-C/2=6sin A+C/2cos A+C/2

cosA-C/2=3cos A+C/2

cosA/2cosC/2+sinA/2sinC/2=3(cosA/2cosC/2-sinA/sinC/2

2sinA/2sinC/2=cosA/2cosC/2

tanA/2tanC/2=1/2

四.已知C1为三角形ABC的AB边上的一点,作BB1∥C1C,交AC延长线于B1,作AA1∥C1C交BC延长线于A1,求证:1/AA1+1/BB1=1/CC1

证明:因为BB1∥C1C,AA1∥C1C,根据平行于同一条直线的两条直线互相平行

由于BB1∥C1C,AA1∥C1C,所以ΔCBB ΔA1AC1,所以

AA1/ BB1=AC/CB1= A1C/BC 1

又AA1∥C1C,所以ΔAA1B ΔBCC1

CC1/AA1=BC1/BA =BC/CA1 2

同理,ΔABB ΔACC1

又CC1/BB1=AC1/AB 3

CC1/AA1+ CC1/BB1= BC1/BA+ AC1/AB=1

所以, 1/AA1+1/BB1=1/CC1

五.若f(x+1)+f(x-1)=2x2-8x+8

f(x+1)-f(x-1)=4(x-2)

且f(x-1),-1/2,f(x)是一个递增的等差数列的前三项,求这个数列的通项an的公式和前n项和Sn公式

解:f(x+1)+f(x-1)=2x2-8x+8 1

f(x+1)-f(x-1)=4(x-2) 2

1+2得:f(x+1)=x2-2x

1-2得:f(x-1)=x2-6x+8

对f(x-1)换元,令t=x-1,xt+1

f(t)=(t+1)2-6(t+1)+8=t2-4t+3

f(x)= x2-4x+3

又f(x-1),-1/2,f(x)为递增的等差数列,

2(-1/2)=-1= f(x-1)+ f(x)=2x2-10x+11

2x2-10x+12=0(x-3)(x-2)=0

x=3或x=2

当x=2时,f(x-1)=f(1)=1-4+3=0

f(x)= f(2)=4-8+3=-1,等差数列为:0,-1/2,-1

d=-1/2-0=-1/2 0为递减数列,不合题意,舍去。

当x=3时,f(x-1)=f(2)=4-8+3=-1

f(x)= f(3)=9-12+3=0,等差数列为:-1,-1/2,0

d=-1/2+1=1/2 0为递增数列,符合题意。

等差数列a1=-1,d=1/2,an=a1+(n-1)d=-1+n-1/2=n-3/2

Sn= n(a1+an)/2=n(-1+n-3/2)/2=n(n-5)/4

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