虚数是真实存在的数,从语言的发展看虚数的真实含义

很多人其实都没想明白过，虚数到底为什么会出现。

哪怕高考数学第一题常常就考它，很多人也只是记住了用法，并没有真正理解。

最常见的解释，来自教材里那个式子：

i² = -1

一个数平方以后怎么会变成负数？这当然反直觉。

但更关键的是：如果虚数真的只是“不存在的东西”，它根本不需要被解释。

不存在的事物，你不用非得给它找意义——就像上帝一样，信不信随你，没人逼着你去证明它为什么存在。

另一方面，也有人用数轴、复平面、旋转来解释虚数。

这能帮你使用它，但更像事后补全。

你能把虚数画在平面上，却还是没有回答最初那个问题：

它到底是从哪来的？

我更愿意换另一个角度来看这件事。

虚数不是假的数。

它是数学这门语言扩张以后，必须承认的新对象。

数学首先是一门语言

图：旧语言表达不了时，数学只能扩张语言，承认新对象

很多人把数学理解成公式、计算、证明。

但更底层一点看，数学首先是一门语言。

虽然人们常把数学和物理都叫作理工科，但两者其实不一样。

物理是在对现实世界不断加深理解。

当然，也有人认为数学本来就存在于宇宙之中。

这个话题太哲学了，这篇文章不讨论。

语言的作用，是表达东西。

当旧语言够用时，就不需要新词。

当旧语言表达不了某个已经出现的问题时，通常只有两种选择：

第一，承认边界：这个东西我现在说不了。

第二，扩展语言：造出新的词，把它说出来。

数学里的很多“新数”，都是这样来的。

不是数学家闲着没事发明怪东西。

而是旧语言被问题逼到了边界。

于是数学只能扩张。

负数：用来表达“比没有还少”

自然数最开始很好理解。

一个苹果，两个苹果，三个苹果。

但如果只承认这种数，那你很快就会遇到问题。

比如：

欠别人 3 块钱

温度低于 0 度

往反方向走 3 米

账户亏损 3 元

这些东西都真实存在。

但它们不是“有 3 个东西”。

它们更像是在表达：

比没有还少。 低于基准。 方向相反。

你当然拿不出“-3 个苹果”。

但你能欠 3 个苹果。

所以负数不是假的。

负数是自然数这套语言不够用以后，为了表达亏欠、反向、低于基准这些关系，长出来的新词。

分数：把原本当成整体的东西切开

整数能表达完整单位。

一个饼，一块地，一米长。

但现实很快又会逼出另一个问题：

一个饼，两个人分，怎么表示？

你不能因为整数表达不了半个饼，就说半个饼不存在。

半个饼当然存在。

三分之一块地当然存在。

一米的一半当然存在。

所以分数出现了。

分数不是更复杂的整数。

它表达的是：

切分

比例

部分和整体的关系

也就是说，当整数这门语言只能说“完整的一个”时，分数把单位切开了。

无理数真的有道理

图：边长为 1 的正方形，对角线长度是 √2——几何对象真实存在，有理数却说不出来

如果你觉得上面的例子还不够强，那么根号 2 的例子绝对无懈可击。

边长为 1 的正方形，对角线长度是多少？

这条对角线当然存在。

你能画出来。

它就在图形里。

但问题是，它不能被任何分数精确表示。

这就很要命。

因为这不是“有没有”的问题。

而是：

几何对象真实存在。

长度真实存在。

但有理数语言说不出来。

你不能因为旧语言表达不了，就说这条线不存在。

所以数学只能扩张。

无理数不是先有一个怪符号，然后硬找意义。

而是一个东西已经在问题里出现了，但旧语言装不下它。

最清楚地说明了这件事：

你知道它存在，但原来的数不够用了。

三次方程：真实答案必须借道虚数

图：有些三次方程的实数答案，计算过程中必须先借道虚数

有些三次方程，明明有真实的实数答案。

比如：

x³ = 15x + 4

你一试就知道：

x = 4

因为：

4³ = 64

15 × 4 + 4 = 64

答案明明是 4。

这是一个实数。

不是幻想，不是硬造，也不是假的答案。

但问题来了。

如果你用三次方程公式去求它，中间会出现：

这就很尴尬。

因为这不是一个“本来就无解”的问题里冒出了怪符号。

而是：

一个明明有真实实数答案的问题，在计算过程中却必须经过以前无法表达的数。

最后答案可以回到实数。

这就说明他必定是一个真实存在的数，因为你的语言不可能用不存在的数去继续求解

“虚数”这个名字误导了很多人

图：理工男语言的匮乏——实数、虚数、无理数，同一个「真/假/理」被反复占用

“虚数”这个名字最大的问题，是它把语言扩张问题，说成了真假问题。

好像实数是真的，虚数是假的。

但这不对。

负数一开始也怪。

分数一开始也不是自然数。

无理数更是直接打破了“所有长度都能用分数表示”的旧想法。

它们不是因为一开始就符合直觉，才被接受。

而是因为旧语言装不下某些问题，数学不得不承认它们。

虚数也是一样。

它不是假的。

它只是把实数这套旧语言的边界暴露出来了。

如果你承认负数、分数、无理数都是真实的数学对象，那就没有理由单独说虚数是假的。

虚数当然真实。

难用的是名字。

实数、虚数、无理数、自然数、有理数……

这些名字，常常让你听半天，也搞不清对方到底在说什么。

就像现在很多词一样：日常里是一套意思，一到数学里又换了一套。

比如「抽象」——平时说「太抽象了」，是在抱怨听不懂、不落地。

数学里说「抽象」，往往是在说：把具体例子背后的共同结构拎出来。

你听见这个词，还得先猜：对方是在吐槽，还是在上课。

这就是理工男语言的匮乏：能算，但不太会起名。

「虚数」把语言扩张问题，说成了真假问题。

「无理数」听起来像「没道理」，其实最有道理。

感觉科学家造词的时候，还是比阿里人差了一点。

我甚至觉得，干脆叫「新数」「新新数」，反而更诚实——至少不会误导你去做哲学判断。

实数 = 真的？

虚数 = 假的？

无理数 = 没道理？

→ 同一个「真/假/理」，反复出现，意思却全不同

不管名字叫什么， 这个符号已经进语言了。

问题来了：符号确定之后，它住在哪儿？

现在再来从数轴的角度看虚数

图：实数轴加虚数轴，从一条线扩展到整个平面，兼容原来的读法

前面几节，说的是“为什么必须承认虚数”。

这一节换一个角度： 被承认之后，怎么在数轴上给它一个位置。

答案很直接：实数轴上放不下。

不是实数。

没有任何一个实数，平方以后等于 。

所以你没法在实数轴上标出 在哪儿——它根本不在那根轴上。

数学家只能再建一根轴：虚数轴。

更绝的是，这根新轴和原来的实数轴完美兼容。

原来的实数还在原来的位置上，一个都没少。

大小没变，读法也没变。

实数轴还是那根轴，只是旁边多了一维。

而且，这次扩展顺手解决了一个老问题。

实数轴本来就能表示方向——正数往右，负数往左，乘 就是翻转。

但一根轴上，方向只有两档：同向（ 度）或反向（ 度）。

中间不能停，不能转 90 度，不能转 30 度。

旋转是跳变的、不连续的。

虚数轴补的，正是实数轴转 度才能指到的方向。

比如乘 ，就是把 从实轴上转到虚轴上——转了一个直角。

在平面上，角度才是连续的，你可以转任意度数。

所以复数为什么写成 ？

就是因为这次数轴扩展：

沿实轴走 ，再沿虚轴走 。

两个分量，两根轴，自然写成这个样子。

这不是随手规定的格式，而是数轴从一条线扩展到一张平面之后，最自然的地址写法。

这就不是一条线了，而是一整张平面。

所以复平面不是推翻实数轴，而是把实数轴嵌进更大的坐标系里。

旧的东西还在原处，只是多了一维，把原来线上说不清的“转出去”，终于能说了。

这就是数轴扩展最常见的方式：

旧坐标系还在，新坐标系把它包进去，而且不破坏原来的读法。

负数扩展了自然数，分数扩展了整数，无理数扩展了有理数。

虚数扩展实数，也是同一种逻辑。

不是另起炉灶。

是把旧语言嵌进更大的语言里，让原来说不出的东西，终于有地方站。