“那你赶紧学啊。”

初二下学期开学的时候，朵拉问物理兴趣班的老师，自己不会微积分没法解答某些物理题时，她得到了这样的回答。

当时朵拉只是涉足过一点三角函数，对高中数学了解不多，更别提微积分这样的大学数学了。

朵拉在小学时自学了初中数学，反复学了整整三遍。这件事让我们全家明白了一个道理：大幅度超前学习并不合适。如果一定要提前学，就必须稳扎稳打，真正让孩子掌握内容。（《》）

因此进入初中后，她就一直按部就班地跟着学校的进度学习，除半本计算练习册之外，没有额外使用其他教辅。

一直到初二下学期，朵拉突然要应对微积分的挑战了。

起因是初一升初二的暑假，朵拉自学了力学。这件事我之前在BetterRead的文章《》中介绍过。她也因此对物理产生了兴趣，并报名参加了学校的物理兴趣课。

这个兴趣课会讲一些竞赛相关的内容，但和升学选拔完全没有关系。我们更多地把它看作对朵拉自学能力的一种认可，也支持她继续学习。

可是学着学着，朵拉发现自己跟不上了。因为有些题目竟然要用到微积分。

这个兴趣课开课有段时间了，不少同学学得比较扎实，甚至有人早就提前学过了相关的数学知识。而朵拉是中途加入的插班生，和同学之间还存在一定差距。

于是就有了开头的对话。

就这样，从初二下学期到暑假，朵拉断断续续地学起了微积分。

在这个过程中，我们给她的支持其实很有限。一方面，她住宿，我们相帮也帮不上；另一方面，考虑到中考，我们更希望她把重心放在校内的学习上。

上一次朵拉提前学还是在小学阶段。那时她学初中数学，是在我们强力推动和监督下完成的。而这一次，她不仅是自学，还是跨幅度极大的超前学习，却一直坚持了下来。她是怎么做到的呢？

我观察了整个学习过程，认为主要有三个原因：一是目标聚焦，降低了难度；二是教材通俗易懂；三是同伴激励和自主学习的成就感，提高了积极性。

以下分享一下她的学习经历和书单。

只为解决物理问题而学

虽然后来老师在上课时也讲授了微积分知识。但这对朵拉肯定是不够的额，她还是得自己学。

好在只是用微积分来辅助物理学习，就大大缩小了学习范围，也降低了难度。

常见的微积分教材一般有三本：同济大学出版社的《微积分》、《托马斯微积分》和《斯图尔特微积分》。其中同济版国内用得多，后两本更多被国际学校的学生使用。

但老师向朵拉推荐的是另一本，叫做《Quick Calculus——A Self-Teaching Guide》（《速成微积分：自学指南》）。从书名就能看出，这是一本适合自学的书。

Amazon上也有不少人给予好评，说这本书非常容易上手。甚至有人评论说：“我保证有了这本书，你绝不会把高中时间浪费在AP微积分AB上，因为这本书花几个小时就能覆盖它的大部分内容。（I surely wouldn't waste your high school time taking AP Calculus AB since this book covers most of it in just a few hours of effort.）”

这本书还有一个特点，就是作者身份特殊。他们不是数学家，而是两位物理学家。

第一位是Daniel Kleppner，美国国家科学院院士，MIT物理系教授，MIT-哈佛超冷原子中心副主任。他也是美国大学物理教学项目的负责人，其最有名的著作是《力学概论》（An Introduction to Mechanics），已由机械工业出版社翻译并引进中国。

第二位是Norman F. Ramsey，哈佛大学教授，同样也是美国国家科学院院士，并于1989年获得诺贝尔物理学奖。

可以想象，由物理学家写的教材，视角自然不同。这本书不像传统微积分教材那样追求详尽，而是侧重介绍核心概念和术语，简单易懂，也非常实用。

用动画视频来理解抽象概念

虽然有了教材，但微积分依然有很多抽象的概念。光靠读书，意味着孩子要独自和纸面上的概念搏斗，会很吃力。所以我建议她去看B站上的数学账号“3blue1brown”（官方网站：https://www.3blue1brown.com）。

3blue1brown原本是YouTube上的一个数学科普与教育频道，由斯坦福大学数学系毕业生Grant Sanderson创立。

它通过直观的动画，通俗易懂地讲解微积分、线性代数、黎曼猜想、几何、微分方程、概率等数学概念和原理，也会涉及AI和物理等相关领域。3blue1brown在YouTube上拥有数百万用户，其在B站的官方账号也有245万关注者。

通过3blue1brown学习，可以直观“看到”导数、积分、级数背后的几何意义，这为理解教材内容打下了基础。从B站的用户评论来看，这些视频对观众的帮助很大。比如《微积分的本质》系列的第一个视频下面就有一千多条评论。

在3blue1brown官方网站上，不仅有视频，还有配套的文字稿，并且文字稿中还穿插互动问答。读者可以看完视频，再阅读文字加深理解、做笔记，然后直接做题，检验自己是否真正掌握。

用课本来补充高中知识

整个学期，朵拉都是利用零碎时间学习微积分的。本来学业就紧张，在她有限的自主时间里，微积分也并不是最高优先级——排在前面的还有物理、排球和尤克里里等等。直到暑假，她才每天抽出一小时专门学习微积分。

其实暑假里兴趣班也有了线上课，也会讲微积分。但由于要旅行和上夜校（BetterRead文章《》），朵拉只是断断续续地听了一些。所以她的微积分主要还是靠自学。

这一次，她先用AOPS的课本补充必要的高中数学知识。

AOPS（www.artofproblemsolving.com）是美国的一家中小学数学教育机构，提供线上和线下的课程与教材。朵拉在小学自学初中数学时就用过他家的书。

AOPS的教材讲解清晰，例题解析详尽，还配有高质量的免费题库，非常适合自学。AOPS也有微积分教材，质量不错，但因为朵拉手头已经有主教材，她这次用的是AOPS的Intermediate Algebra（中级代数） 和Precalculus（预备微积分）。

初二下学期朵拉已经零散学了一些高中数学知识，比如三角函数、向量等等，但不够系统。这次她需要快速梳理整本教材，补足微积分学习必需的高中数学知识。

在补完高中数学基础之后，朵拉又学习了老师推荐的另一本微积分教材——Dale Varberg、Edwin J. Purcell和Steven E. Rigdon合著的《微积分》，机械出版社出版的中文版。

相比《Quick Calculus》，这本书内容更全面。暑假时间充裕，朵拉可以学得更从容。而且这本书的中文翻译团队对术语也做了本土化处理，更适合中国学生使用。

用教辅和网课应用实战

但是上述《微积分》教材的题目朵拉做得不多。因为她学微积分，目标很明确：为了听懂物理课、看懂物理书、解出物理题。所以检验她学习效果的方式，还是要回到物理。

这一部分她主要依靠教材和网课。

教材方面，她用的是经典的物理竞赛书——《中学奥林匹克竞赛物理教程：力学篇》，因为作者是程稼夫，常被简称为“程力”。

由于出版时物理竞赛不允许使用微积分，这本书中的所有解题方法都避开了微积分工具。但它仍是一本非常经典的教材，书中的习题同样可以用微积分来求解。

网课方面，朵拉选择的是全球在线教育网站Coursera上由莱斯大学（Rice University）开设的力学和电磁学课程。

既然做题就可以验证，为什么还要上网课呢？

因为网课中老师会一步步在黑板上推导所有公式，对提升理解很有帮助。另外，网课题量不少且有一定难度。课程简介中强调，“在课程内容的详细与严谨程度上与莱斯大学校内课程基本一致。”当然作为网课难免有所折扣，但对朵拉来说已经足够。

这门课还提供了免费的物理课本，出自网站openstax.org。

这个网站我之前在BetterRead文章《》中也推荐过。

教材选择可以更灵活

观察朵拉学微积分的过程，我最大的体会是：学一门学科，教材选择可以更灵活。只要适合自己，都可以拿来用。

以前大家选教材，特别强调系统性和配套性，必须严丝合缝一一对应。这种方式对长期深入某个领域确实有利，对老师教学和备课也更方便。

但对自学来说，这不一定是最佳选择。

因为自学个性化很强，常常需要试错和调整，教材使用也要更灵活。在《》发布后，一位四年级孩子的家长对我们选的教材表示惊讶——因为我们没选AOPS的小学教材《Beast Academy》系列，而是用了可汗学院的小学课程加AOPS的中学内容。

其实Beast Academy也很不错。两套教材都是AOPS出的，所以不管是AOPS还是培训机构，都会打包推广销售。但我家孩子用可汗学院效果挺好，我们就没换。

同样，在物理学习中，我也发现大家对系统性和配套性很看重。

比如公立校的学生大多只看国内教材，国际路线的则只看英文教材。其实国内教材出题丰富多样，国外教材解释概念详细生动，各有优点。我们完全可以兼容并蓄。

另外，由于《程力》书中并没有涉及微积分，有些人就觉得，想用微积分的话就只能去看北大舒幼生教授编写的《力学（物理类）》。其实并非如此，我们完全可以用多种方法解题——既可以用微积分，也可以走传统路径。

多种教材混用的做法不仅适合自学，在实际生活中也很常见。因为现实中的学习往往随机性强，我们常会临时需要学点什么并且马上应用，往往得多找几本教材——既有速成型的帮你快速上手，也要有全面型的供你备查。

社交与自主的激励

很多孩子大幅度提前学并经层层筛选直至竞赛获奖，除了兴趣和能力，还有实际的目标；无论是小升初择校、规避中考、高考保送，或者通过强基计划等方式进入更好的大学。

但朵拉更多出于兴趣学习，既没有升学优惠，也没有经历严格筛选。

我们家长还是希望她以校内学习为主，也没有积极鼓励。再加上初中学业紧张，其实她哪怕偷点懒，也没什么后果。

那为什么朵拉还要坚持学微积分呢？

我想首先是因为她受到同学的影响，希望向物理兴趣班的学霸们看齐。

还有一个原因，就是在微积分的学习上，她拥有完全的自主权。用什么教材、什么时间学、学到哪里——几乎全是她自己决定。没有什么外在干预。

之前我在写《透析作业》这本书的读后感时，就发现学生在做自主作业时兴趣最大，效果也最好。（《》）

从朵拉身上，我再次看到了这一点。

这样学值得吗？

可能有人觉得，都能学微积分了，是不是说明孩子数学特别厉害？

其实并不是。

朵拉目前也只是刚刚入门微积分。虽然因为学习微积分，她接触到了一部分高中数学知识，但都还处于比较基础的阶段。

不仅如此，她在物理兴趣班的表现也并不突出。尽管孩子自己很有热情，但我目前没有看出她有什么特别的天赋。

前两天我拿高中数学教材的大纲给她看，问她还记得多少。她说很多都忘了，只有和微积分相关的还有印象。

这才过了几个月！遗忘真是学习最大的敌人。

而且我估计，开学之后她的微积分知识也会慢慢淡忘。毕竟初三学业紧张，课外学习时间也会被压缩。

既然迟早要忘记，那何必花这么大力气学呢？

如果放在以前，我可能会强烈反对朵拉这么做。但现在我的想法变了。

因为我已经看明白了。就算她不学微积分了，也不会把自主时间用于校内学习，而是会用在她感兴趣的事情上，比如弹琴、打球、做饭等等。

所以，我只要求她把重心放在校内学习上，其他时间做什么则由她自己决定。

更重要的是，学微积分极大增强了她的自学能力，也提升了她的学术兴趣和自信。这三点，可以让她走得更远。

有一天，朵拉学完微积分，心满意足地对我说：“妈妈，我推导出圆的面积公式了。”