苏步青|撰文

我们平常一谈起数学，谁都会联想到小学里学习的算术，特别感到算术的四则运算，就是加法、减法、乘法、除法，用处很大。到了中学以后，开始学习初中代数、平面几何，进一步学习三角学、高中代数、立体几何、解析几何。有些中学生毕业后进入高等学校，其中不少人还要学微积分、微分方程。一部分专门学数学的还要学数学分析、高等代数、高等几何、微分方程、函数论、概率统计等。一个学生从小学到大学所学的数学科目确实不少，内容大多是数学的基础知识，由浅到深，由少到多，由简单到繁杂，由具体到抽象，可说是五花八门，琳琅满目。如果把这些内容分析一下，就可以看出大致分为两类： 一类是现实世界中的量的关系，一类是空间形式。例如，算术、代数属于前一类，几何属于后一类。人们不禁要问： 为什么要学这些内容？这些内容有什么用处？数学的特点是什么？怎样学好数学？

在对这些问题作出初步回答之前，让我们先回顾一下 数学是怎样发展起来的。

在很早的时候，人类在生产实践中，由于比较大小的需要，逐步获得了数的概念。最初是自然数，就是 1，2，3，4……后来逐渐发展成为分数，并从正数发展到负数，从有理数发展为无理数，它们的全体构成一个所谓实数域。在获得数的概念的同时，也发现一些具有特定形状的物体具有特定的性能，获得一些简单几何形体的概念，例如，三角形、四边形、圆、棱柱、圆柱、球等。据说，古代埃及人曾经用绳子撑成边长分别是3个单位、4个单位、5个单位的直角三角形，借以作出直角，而把它应用到建筑上。有了简单几何形体的概念之后，再用数量来表示一些简单几何形体的面积、体积等，例如圆的面积、球的体积，并且把这些数量关系归纳为公式来表示出一种规律。人们几千年来就是这样运用这些公式计算耕地的面积和建筑物的体积的。这应该说是形与数的结合了。所以，早在人类文化的初期，就已经积累了一些数学知识。到了16世纪，包括算术、初等代数、初等几何和三角学的初等数学已经大体上完备了。

17世纪，生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化着的现象，从而获得了变量的概念。这是数学发展史上的一个转折点。于是数学不仅研究不变的数量和个别的图形，而且开始研究变化中的量与量之间的相互制约关系和图形间的相互变换。这样，运动和辩证法就进入了数学。随着生产力的发展，科学技术对深入探讨各种量的关系的要求越来越高。这对准确掌握各种自然现象的变化过程，包括各种质变现象发生的规律起了推动的作用，而数学的研究范围也就不断地扩大，内容日益丰富。

在这里，我们要提出经常听到的一个疑问： 为什么数学家在研究室里思考出来的高等数学法则，在建筑、机械的施工现场上，在火箭、卫星的设计制造中都会发生作用呢？要解答这个问题，并不困难，我们只要观察周围的日常用品，像茶杯、桌子、皮鞋等，就可以发现没有一样物品是不同数学打过交道的。在双手制造物品的过程中，哪里花费劳动力越多，哪里数学的思维加工也越多。数学是研究现实世界中量的关系和空间形式的。但是无论量的关系也好，空间形式也好，它们都是从现实世界中的具体现象里抽象出来的，并经过反复实践才得出一些规律。只有那些在实践中经得起考验的，就是正确地反映了客观规律的部分才能留传下来，而其余不符合客观规律的部分则被淘汰无遗了。所以，把这些公式应用到建筑、机械的现场里和火箭、卫星的设计中去，是不会出差错的。

20世纪的数学比过去任何时期都发展得更快，内容也分得更细了。这就不但在研究的对象和方法上，而且也在使用的语言上，都产生了各分支之间“隔行如隔山”的感觉。固然，现代数学涉及的问题范围非常广泛，要理解数学全盘的结构似乎尤为困难，但是事实并不这样。因为数学各分支并不是孤立的、毫无联系的，而恰恰相反，代数、几何、数学分析、拓扑等一类基础知识相互关联着，并且通过它们使数学的所有分支形成一个有机的整体。不但如此，由于现代物理学和其他科学的辉煌成就，又不断地揭露出隐藏在数学与物理学等学科之间的密切关系。正如17世纪发现的微积分原先起源于力学一样，现代数学里的广义函数的产生也是和量子力学分不开的。 一句话，现代数学的发展有赖于物理学及其他自然科学，甚至社会科学、人文科学的发展，现实世界中各个方面的结构深刻地反映到数学的内部结构里来。这样，数学各分支间的有机联系根深蒂固地存在于现实世界的这种统一的结构里，并且从中汲取感性的养料而成长壮大起来。但是，必须指出，数学决不融化在其他自然科学里，数学与其他自然科学之间存在着本质上的区别。换言之，在现实世界的各种各样范畴里， 数学是通过量的关系和空间形式的研究发展起来的，而其他自然科学则是适应所探讨的自然界的某一类型的运动形态的特殊要求而发展的。在数学里，为了把这些关系和形式变成纯粹的方式来研究，总是把它们从内容中分离出来，抽象化之后进行考察的。所以，数学的最大特点是它的理论往往具有非常抽象的形式，但它同时也是现实世界中量的关系和空间形式的深刻反映，因而可以广泛地应用到科学和技术的各个部门里，对人类认识世界和改造世界，起着重要的作用。因此，研究数学决不能完全离开实际来孤立地思考问题、解决问题。自古以来，似乎一直存在于数学与其他自然科学之间的一条鸿沟，由于现代科学的发展正逐渐地趋于消失了。

本文原载于《数学大师论数学教育》（张孝达选编—杭州：浙江教育出版社，2007.8）